測試程序
我們知道，浮點數運算存在舍入誤差。在某些特殊的情況下，舍入誤差還可以累計到非常大的地步。讓我們來看一下測試程序吧：
1 using System; 2 3 static class DecimalSumTester 4 { 5 static void Main(string[] args) 6 { 7 try 8 { 9 var n = (args.Length > 0) ? int.Parse(args[0]) : 10; 10 for (var i = 0; i < 3; i++) Console.WriteLine(F(n, i)); 11 } 12 catch (Exception ex) { Console.WriteLine(ex.Message); } 13 } 14 15 static decimal F(int n, int k) 16 { 17 var z = 0.1m + k * 1000000000000000000000000000m; 18 var w = decimal.Round(z) / 2; 19 while (n-- > 0) z += z / 2 - w; 20 return z - w * 2; 21 } 22 }
在這個程序中：
- 第 19 行通過 while 循環不斷進行累加： z += z / 2 - w; 。w 是不變的，而 z 是通過不斷累加而增大的。
- 第 9 行讀取命令行參數作為 n 的值來決定 while 循環次數。
- 第 15 至 21 行的 F 方法第一個參數 n 就是循環次數。第二個參數 k 決定累加初值的整數部分的大小。
- 在這個程序中參數 k 僅取 0、1 和 2 三種情況。如果算術運算沒有誤差的話，這三種情況下 F 方法的返回值應該一樣。
在 Linux 中編譯和運行
在 Arch Linux 64-bit 操作系統的 Mono 3.0.4 環境下編譯和運行：
work$ dmcs DecimalSumTester.cs work$ mono DecimalSumTester.exe 24 1683.4112196028232574462890625 2730.9 2730.9
上述結果中第一行是計算出來的准確值。第二行和第三行的值理論上應該等於第一行。但是由於浮點數運算的舍入誤差累計的結果，最終答案的誤差相當大。在我的上一篇隨筆“淺談 System.Decimal 結構”中提到，decimal 的算術運算在 Linux 環境下的舍入規則是四舍五入，這可能導致誤差累計得比較大。而在 Windows 環境下的舍入規則是四舍六入五向偶。那么我們就接着往下看吧。
在 Windows 中編譯和運行
在 Windows 7 SP1 32-bit 操作系統的 Microsoft .NET Framework 4.5 環境下編譯和運行：
D:\work> csc DecimalSumTester.cs Microsoft(R) Visual C# 編譯器版本 4.0.30319.17929 用於 Microsoft(R) .NET Framework 4.5 版權所有 (C) Microsoft Corporation。保留所有權利。 D:\work> DecimalSumTester 24 1683.4112196028232574462890625 2097.9 0.1
這個運行結果和在 Linux 環境下大不相同。但是誤差也是相當的大。
調試程序
讓我們來看看在運算過程中發生了什么吧。在上述測試程序中插入一些調試語句：
1 using System; 2 3 static class DecimalSumDebug 4 { 5 static void Main(string[] args) 6 { 7 var n = (args.Length > 0) ? int.Parse(args[0]) : 10; 8 for (var i = 0; i < 3; i++) 9 Console.WriteLine(F(n, i).ToString().PadRight(77, '-')); 10 } 11 12 static decimal F(int n, int k) 13 { 14 var z = 0.1m + k * 1000000000000000000000000000m; 15 var w = decimal.Round(z) / 2; 16 for (decimal x, y; n-- > 0; z += x) 17 { 18 x = (y = z / 2) - w; 19 Console.WriteLine("{0,-30}: {1,-30}: {2}", z, y, x); 20 } 21 return z - w * 2; 22 } 23 }
這個程序和前面的測試程序的功能是相同，僅僅是運算過程中增加輸出中間變量的值的語句。
在 Linux 中調試
在 Arch Linux 的 Mono 環境下編譯和運行，輸出一大堆調試信息：
work$ dmcs DecimalSumDebug.cs work$ mono DecimalSumDebug.exe 10 0.1 : 0.05 : 0.05 0.15 : 0.075 : 0.075 0.225 : 0.1125 : 0.1125 0.3375 : 0.16875 : 0.16875 0.50625 : 0.253125 : 0.253125 0.759375 : 0.3796875 : 0.3796875 1.1390625 : 0.56953125 : 0.56953125 1.70859375 : 0.854296875 : 0.854296875 2.562890625 : 1.2814453125 : 1.2814453125 3.8443359375 : 1.92216796875 : 1.92216796875 5.76650390625---------------------------------------------------------------- 1000000000000000000000000000.1: 500000000000000000000000000.05: 0.05 1000000000000000000000000000.2: 500000000000000000000000000.1 : 0.1 1000000000000000000000000000.3: 500000000000000000000000000.15: 0.15 1000000000000000000000000000.5: 500000000000000000000000000.25: 0.25 1000000000000000000000000000.8: 500000000000000000000000000.4 : 0.4 1000000000000000000000000001.2: 500000000000000000000000000.6 : 0.6 1000000000000000000000000001.8: 500000000000000000000000000.9 : 0.9 1000000000000000000000000002.7: 500000000000000000000000001.35: 1.35 1000000000000000000000000004.1: 500000000000000000000000002.05: 2.05 1000000000000000000000000006.2: 500000000000000000000000003.1 : 3.1 9.3-------------------------------------------------------------------------- 2000000000000000000000000000.1: 1000000000000000000000000000.1: 0.1 2000000000000000000000000000.2: 1000000000000000000000000000.1: 0.1 2000000000000000000000000000.3: 1000000000000000000000000000.2: 0.2 2000000000000000000000000000.5: 1000000000000000000000000000.3: 0.3 2000000000000000000000000000.8: 1000000000000000000000000000.4: 0.4 2000000000000000000000000001.2: 1000000000000000000000000000.6: 0.6 2000000000000000000000000001.8: 1000000000000000000000000000.9: 0.9 2000000000000000000000000002.7: 1000000000000000000000000001.4: 1.4 2000000000000000000000000004.1: 1000000000000000000000000002.1: 2.1 2000000000000000000000000006.2: 1000000000000000000000000003.1: 3.1 9.3--------------------------------------------------------------------------
上述結果中第一組是准確值，沒有發生舍入誤差。后兩組的舍入情況不同，但最終結果居然一樣。至於為什么進行這樣的舍入，請參閱我的上一篇隨筆。
在 Windows 中調試
在 Windows 的 .NET Framework 中編譯和運行，也輸出一大堆調試信息：
D:\work> DecimalSumDebug 10 0.1 : 0.05 : 0.05 0.15 : 0.075 : 0.075 0.225 : 0.1125 : 0.1125 0.3375 : 0.16875 : 0.16875 0.50625 : 0.253125 : 0.253125 0.759375 : 0.3796875 : 0.3796875 1.1390625 : 0.56953125 : 0.56953125 1.70859375 : 0.854296875 : 0.854296875 2.562890625 : 1.2814453125 : 1.2814453125 3.8443359375 : 1.92216796875 : 1.92216796875 5.76650390625---------------------------------------------------------------- 1000000000000000000000000000.1: 500000000000000000000000000.05: 0.05 1000000000000000000000000000.2: 500000000000000000000000000.1 : 0.1 1000000000000000000000000000.3: 500000000000000000000000000.15: 0.15 1000000000000000000000000000.4: 500000000000000000000000000.2 : 0.2 1000000000000000000000000000.6: 500000000000000000000000000.3 : 0.3 1000000000000000000000000000.9: 500000000000000000000000000.45: 0.45 1000000000000000000000000001.4: 500000000000000000000000000.7 : 0.7 1000000000000000000000000002.1: 500000000000000000000000001.05: 1.05 1000000000000000000000000003.2: 500000000000000000000000001.6 : 1.6 1000000000000000000000000004.8: 500000000000000000000000002.4 : 2.4 7.2-------------------------------------------------------------------------- 2000000000000000000000000000.1: 1000000000000000000000000000 : 0 2000000000000000000000000000.1: 1000000000000000000000000000 : 0 2000000000000000000000000000.1: 1000000000000000000000000000 : 0 2000000000000000000000000000.1: 1000000000000000000000000000 : 0 2000000000000000000000000000.1: 1000000000000000000000000000 : 0 2000000000000000000000000000.1: 1000000000000000000000000000 : 0 2000000000000000000000000000.1: 1000000000000000000000000000 : 0 2000000000000000000000000000.1: 1000000000000000000000000000 : 0 2000000000000000000000000000.1: 1000000000000000000000000000 : 0 2000000000000000000000000000.1: 1000000000000000000000000000 : 0 0.1--------------------------------------------------------------------------
同樣，第一組的結果是准確值，后兩組有着不同的舍入誤差。第二組的舍入誤差比 Linux 中的要好。第三組就很糟糕了，被累加的值直接被舍入到 0 了。
System.Double 數據類型的情況
把前面的測試程序稍加修改，就可用於測試 double 數據類型的舍入誤差：
1 using System; 2 3 static class DoubleSumTester 4 { 5 static void Main(string[] args) 6 { 7 try 8 { 9 var e = (args.Length > 0) ? int.Parse(args[0]) : 15; 10 for (var i = 0; i < 3; i++) Console.WriteLine(F(10, i, e)); 11 } 12 catch (Exception ex) { Console.WriteLine(ex.Message); } 13 } 14 15 static double F(int n, int k, int e) 16 { 17 var z = 0.1 + k * Math.Pow(10, e); 18 var w = (long)z / 2.0; 19 while (n-- > 0) z += z / 2 - w; 20 return z - w * 2; 21 } 22 }
這時把循環次數固定為 10，命令行參數指定影響舍入誤差的整數部分的 10 的冪指數。運行結果如下所示：
work$ dmcs DoubleSumTester.cs work$ mono DoubleSumTester.exe 0 5.76650390625 5.76650390625 5.76650390625002 work$ mono DoubleSumTester.exe 1 5.76650390625 5.76650390624993 5.76650390625 work$ mono DoubleSumTester.exe 4 5.76650390625 5.76650390631767 5.76650390624854 work$ mono DoubleSumTester.exe 10 5.76650390625 5.76657485961914 5.76650238037109 work$ mono DoubleSumTester.exe 12 5.76650390625 5.761962890625 5.7666015625 work$ mono DoubleSumTester.exe 14 5.76650390625 5.6875 5.0625 work$ mono DoubleSumTester.exe 15 5.76650390625 9 0 work$ mono DoubleSumTester.exe 16 5.76650390625 0 0
這次，Linux 和 Windows 中的運行結果是相同的。同樣，每次運行的第一行是准確值，其余兩行是不同的舍入誤差形成的結果。