算術基本定理，又稱為正整數的唯一分解定理，即：每個大於 \(1\) 的自然數，要么本身就是質數，，要么可以寫為 \(2\) 個或以上的質數的積，而且這些質因子按大小排列之后，寫法僅有一種方式。
即： \(\forall A \in \mathbb{Z} , A > 1 \quad \exists \prod \limits_{i=1}^n p_i^{a_i} = A\).
其中 \(p_1 < p_2 < p_3 < \cdots < p_n\) 而且 \(p_i\) 是一個質數，\(a_i \in \mathbb{Z} ^+\)。這種表示的方法存在，而且是唯一的。
算術基本定理的內容由兩部分構成：
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分解的存在性；
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分解的唯一性，即若不考慮排列的順序，正整數分解為素數乘積的方式是唯一的。
證明：
存在性
假設存在大於 \(1\) 的自然數不能寫成質數的乘積，把最小的那個稱為 \(n\)。
自然數可以根據其可除性（是否能表示成兩個不是自身的自然數的乘積）分成 \(3\) 類：質數、合數和 \(1\)。
首先，按照定義，\(n\) 大於 \(1\)。
其次，\(n\) 不是質數，因為質數 \(p\) 可以寫成質數乘積：\(p = p\)，這與假設不相符合。因此，\(n\) 只能是合數，但每個合數都可以分解成兩個嚴格小於自身而大於 \(1\) 的自然數的積。
設 \(n = a \times b\)，其中 \(a\) 和 \(b\) 都是介於 \(1\) 和 \(n\) 之間的自然數，因此，按照 \(n\) 的定義，由於 \(n\) 是大於 \(1\) 的自然數而不能寫成質數的成績中最小的數，\(a\) 和 \(b\) 都可以寫成質數的乘積。從而 \(n = a \times b\) 也可以寫成質數的乘積。
由此產生矛盾。因此大於 \(1\) 的自然數必可寫成質數的乘積。
唯一性
歐幾里得引理：若質數 \(p \mid ab\)，則不是 \(p \mid a\)，就是 \(p \mid b\)。
假設有些大於1的自然數可以以多於一種的方式寫成多個質數的乘積，那么假設 \(n\) 是其中最小的一個。
首先 \(n\) 不是質數。將 \(n\) 用兩種方法寫出：\(n = p_1 p_2 p_3 \cdots p_r = q_1 q_2 q_3 \cdots q_s\)。根據引理，質數 \(p_1 \mid q_1 q_2 q_3 \cdots q_s\)，所以 \(q_1 , q_2 , q_3 \cdots q_s\) 中有一個能被 \(p_1\) 整除，不妨設為 \(q_1\)。但 \(q_1\) 也是質數，因此 \(q_1 = p_1\)。所以，比 \(n\) 小的正整數 \(n' = p_2 p_3 \cdots p_r\) 也可以寫成 \(q_2 q_3 \cdots q_s\)。
這與 \(n\) 的最小性矛盾，因此唯一性得證。
證畢。