數論--唯一分解定理及代碼實現

 

唯一分解定理，及證明？

看《什么是數學》有講一個算術基本定理，又稱為正整數的唯一分解定理，即：每個大於1的自然數均可寫為質數的積，而且這些素因子按大小排列之后，寫法僅有一種方式。看了半天還是不太明白是怎么證明的。

貼一段轉來的，終於看懂了（轉自：《什么是數學》讀書筆記（一）：反證法、數學歸納法與唯一分解定理）
為了真正地證明，分解質因數的方法是唯一的，我們將再次用到反證法。假設存在某些數，它們有至少兩種分解方法。那么根據上文提到的“非空正整數集里存在最小的元素”，一定有一個最小的數M，它能用至少兩種方法表示成質數的乘積：
M = P1 * P2 * … * Pr = Q1 * Q2 * … * Qs
下面我們將看到，這種假設會推出一個多么荒謬的結果來。不妨設P1 <= P2 <= … <= Pr, Q1 <= Q2 <= … <= Qs。顯然，P1是不等於Q1的，不然兩邊同時約掉它，我們就得到一個更小的有兩種分解方法的數。不妨設P1 < Q1，那么我們用P1替換掉等式最右邊中的Q1，得到一個比M更小的數T = P1 * Q2 * Q3 * … * Qs。令M’ = M – T，我們得到M’的兩種表達：
M’ = (P1 * P2 * … * Pr) – (P1 * Q2 * … * Qs) = P1 * (P2 * .. * Pr – Q2 * … * Qs) …… (1)
M’ = (Q1 * Q2 * … * Qs) – (P1 * Q2 * … * Qs) = (Q1 – P1) * Q2 * … * Qs ……………… (2)
由於T比M小，因此M’是正整數。從(1)式中我們立即看到，P1是M’的一個質因子。注意到M’比M小，因此它的質因數分解方式應該是唯一的，可知P1也應該出現在表達式(2)中。既然P1比所有的Q都要小，因此它不可能恰好是(2)式中的某個Q，於是只可能被包含在因子(Q1-P1)里。但這就意味着，(Q1-P1)/P1除得盡，也就是說Q1/P1-1是一個整數，這樣Q1/P1也必須得是整數。我們立即看出，P1必須也是Q1的一個因子，這與Q1是質數矛盾了。這說明，我們最初的假設是錯誤的。

 

假設x是一個正整數，它的值不超過65535(即1< x <= 65535)，請編寫一個程序，將x分解為若干個素數的乘積。

 

#include <bits/stdc++.h>     
using namespace std;
int a[10000],c,n,t; 
int main()    
{    
       
    scanf("%d",&t);   //t組測試數據 
    while(t--)    
    {    
        scanf("%d",&n);    
        c=0;  
        for(int i=2;i<=n;i++)
        {    
            while(n%i==0)
            {    
                a[c++]=i;
                n/=i;
            }    
        }    
        for(int i=0;i<c;i++)    
        {    
            printf(i==0?"%d":"*%d",a[i]);    
        }    
        printf("\n");    
    }    
    return 0;    
}   

 

 

參考：知乎：怎樣理解唯一分解定理，如何證明，這個定理有什么用？