1. 什么是鏡像變換
直接看下面這張圖：
這張圖很好的詮釋了鏡像變化，關於y軸的變化，關於x軸的變化。這種關於任意軸的變化，就是鏡像了。
2d下的鏡像矩陣變化
我們以圖像關於Y軸鏡像為例子：原圖形和結果圖形上所有點的都存在的關系就應該是 x = -x,
也就是都只有x發生變化。這種通用的變化其實可以用矩陣表示，2D空間中的點其實可以用[x,y ] 表示。對角線的兩個1就是關於那個軸對稱：
這些都是關於x軸、 y軸的對稱， 如果說關於2d平面的任意一條直線呢，當然有人已經幫我們推導出來了如下圖：（數學證明我就不給出了，有興趣的可以自行百度，本篇文章注重3d鏡像矩證的推導）
3d 圖形下關於任意平面的鏡像矩陣推導：
首先給大家介紹下three.js 中的Plane 有兩部分構成一個是平面的法向量（normal - 單位向量）和原點到平面的距離(constant); 平面上的點都滿足 Ax + By + Cz + D = 0; 這個平面推導過程不清楚的同學可以看下這里：點擊這里
- A, B ,C 這3個參數代表的是平面法向量的（x,y,z）
- D 就是上文的constant這個參數
問題很簡單假設空間中存在點P 和（x,y,z） 以及平面（n,D） 求P點關於平面的鏡像矩陣如圖：
簡單解釋一下圖中內容：
設點P(x, y, z)為平面正方向上的一點，點O是P(x, y, z)在平面上的投影，點A(xa, ya, za)是平面上任取的一點，而P’(x’, y’, z’)則是點P(x, y, z)相對與平面的鏡像點，另外的，我們還假設由點A到點P的向量為a(x - xa, y - ya, z - za)，由點O到點P的向量為b，平面法向量為n(xn, yn, zn)，平面到原點的帶符號距離為D.
其實說白了我就是推導P’ = mirrorMatrix * P 。
從圖片中可以的出 P’P = 2 b 所以可以得出 P’ = P - 2b
所以我們現在的問題是如何求解b向量 ？ 其實只要求解 a 向量在法向量上的投影就好了
所以就能夠得到 b = a * n * n
ok 由於 a* n 是一個標量所以在這里我們先求解一下
a * n = (x - xa, y - ya, z - za ) * (xn, yn, zn) = (x - xa) * xn + (y - ya) * yn + (z - za) * zn = x * xn + y * yn + z * zn - xa * xn - ya * yn - za * zn
又因為點A是平面上的點，所以自然滿足平面方程 （不清楚的同學點擊這里：點擊）
xa * xn + ya * yn + za * zn + D = 0
D = - (xa * xn + ya * yn + za * zn)
帶入到上面 a * n 的方程 ：
a*n = x * xn + y*yn + z *zn + D
所以這時候b向量就可以很好的表示了
b = ( x * xn + y*yn + z*zn + D ) * n
截止到這里我們已經成功的消元了， 因為A 點是空間中任意一點嘛。
P’ = P - 2b = P - 2 *( x * xn + y*yn + z*zn + D ) * n
到這里我們已經成功求出 P 和 P’ 的關系
接下來就是求出 在 x ,y ,z 上的分量。
首先嘗試計算點P’的x分量，我們有：
P’x = x - 2 * (x * xn + y * yn + z * zn + D) * xn
= (1 - 2 * xn * xn) * x - 2 * xn * yn * y - 2 * xn * zn * z - 2 * xn * D
根據這個表達式，並根據矩陣乘法規則，我們便可以得到變換矩陣的第一行元素：
m11 = 1 - 2 * xn * xn
m12 = -2 * xn * yn
m13 = -2 * xn * zn
m14 = -2 * xn * D
同樣的方法，點P’的y,z分量分別為：
P’y = y - 2 * (x * xn + y * yn + z * zn + D) * yn
= - 2 * xn * yn * x + (1 - 2 * yn * yn) * y - 2 * yn * zn * z - 2 * yn * D
P’z = z - 2 * (x * xn + y * yn + z * zn + D) * zn
= - 2 * xn * zn * x - 2 * yn * zn * y + (1 - 2 * zn * zn) * z - 2 * zn * D
對應的，矩陣的第二行元素和第三行元素分別為：
m21 = -2 * xn * yn
m22 = 1 - 2 * yn * yn
m23 = -2 * yn * zn
m24 = -2 * yn * D
m31 = -2 * xn * zn
m32 = -2 * yn * zn
m33 = 1 - 2 * zn * zn
m34 = -2 * zn * D
矩陣的最后一行 我們暫時不關心設置為默認：
m41 = 0
m42 = 0
m43 = 0
m44 = 1
最后的提醒：
- 空間中如果是圓者是弧這種圖像 關於任意平面對稱， 這時候的圖像的nomal 應該是 Matrix3 不帶位移的。 也就是將文中的Matrix4 轉為Matrix3
- 本文是矩陣乘以向量所以是矩陣在前，如果在實際運用中你是后乘，也就是矩陣在后面 需要將m14 和 m41 、 m24 和 m42 、 m34 和 m43 、 互換位置。不清楚的同學百度搜索向量和矩陣相乘。