摘要：平時練習算法題學習算法知識時，經常會發現題解里寫着“動態規划”，里面一上來就是一個復雜的dp公式，對於新人來說除了說聲“妙啊”，剩下就是疑惑，他是怎么想到這個公式的？我能想到嗎？這玩意工作中有用嗎？
本文分享自華為雲社區《動態規划究竟是怎么想到的？【奔跑吧！JAVA】》，原文作者：breakDraw。
平時練習算法題學習算法知識時，經常會發現題解里寫着“動態規划”，里面一上來就是一個復雜的dp公式，對於新人來說除了說聲
剩下就是疑惑，他是怎么想到這個公式的？我能想到嗎？這玩意工作中有用嗎？
加上“動態規划”這高端的名字，然后就勸退了不少試圖去理解他的人。
動態規划聽起來太嚇人，可以換個說法
我在內心更喜歡叫他“狀態緩存”
如果是服務開發，相信很熟悉這個詞語， 利用緩存來加快一些重復的請求的響應速度。
而這個緩存的特點是 和其他緩存有所關聯。
比如我們的服務要計算7天內的某金錢總和，計算后要緩存一下。
后來又收到一個請求，要計算8天內的金錢總和
那我們只需要取之前算過的7天內的金錢綜合，加上第8天的金錢就行了。
1+4的思考套路
自己針對動態規划總結了一個自己的思考套路，我叫他1組例子4個問題，就叫1+4好了，通過這5個過程，可以站在普通人的角度（就是非acm大佬那種的角度），去理解動態規划是如何被思考出來的
- 在超時的思路上寫出一組計算過程的例子
- 在超時例子的基礎上，有哪些重復、浪費的地方？
- 如何定義dp數組
- 狀態的變化方向是什么，是怎么變化的
- 邊界狀態是什么
簡單例子
以一道簡單題為例：
爬樓梯：
https://leetcode-cn.com/problems/climbing-stairs/
這時候就要靜下心，觀察這個解法的例子中是否有重復經歷的場景，而這個重復經歷的場景就叫狀態。
我處理動態規划的題目時， 都會問自己3個問題，一般就能順利地解決。
①在超時的思路上寫出一組計算過程的例子
如果我們考慮最簡單的解法， 就是從起點開始，每次選擇走1步或者走2步，看下能否走到終點，能走到則方法數+1。
但這種方法注定超時（O（n^2)）
但我還是照着這個過程模擬了一下，隨便列了幾個
1 ->2-> 3-> 4-> 5
1 ->2 ->3-> 5
1->3->4->5
1->3->5
②在超時例子的基礎上，有哪些重復、浪費的地方？
在上面，我發現了重復的地方
也就是說
從3到5總共就2種路線，已經在1->2之后計算過了，我后面從1走到3再往后走時，沒必要再去算了。
換言之，當我走到3的時候，其實早就可以知道后面還剩下多少種走法。
發現重復的地方后，就可以開始建立dp公式了。
③如何定義dp數組？
定義dp數組，也就是定義上面提到的重復的地方。重新看下之前的那句話
當我走到3的時候，其實早就可以知道后面還剩下多少種走法。
所以dp[3]代表的就是從3往后，有多少種可走的方法。
④狀態的變化方向是什么，是怎么變化的
- 首先思考狀態的變化方向
重新看這句話：
當我走到3的時候，其實早就可以知道后面還剩下多少種走法
說明結果取決於往 后面 的狀態
因此我們要先計算后面的狀態, 即從后往前算
- 接着思考這個后面的狀態和當前的狀態有什么聯系，是怎么變化的
這個一般都包含在題目條件中
根據題意，要么走2步，要么走1步，因此每當我走到一層時，下一次就2種狀態可以變化。
那么對於第3層而言，他后續有2種走法，走1步或者走2步
那么他的情況就是dp[3] = dp[3+1] + dp{3+2}
如果層數設為i，那么這個變化情況就是
dp[i] = dp[i+1] + dp[i+2]
⑤邊界狀態是什么？
邊界狀態就是不需要依賴后面的狀態了，直接可以得到結果的狀態。
在這里肯定就是最后一層dp[n]， 最后一層默認是一種走法。 dp[n]=1
實現
根據上面的過程，自己便定義了這個狀態和變化
- 定義：dp[i] : 代表從第i層往后，有多少種走法
- 方向和變化：dp[i] = dp[i+1] + dp[i+2];
- 邊界: dp[n] = 1
根據這個寫代碼就很容易了
代碼：
public int climbStairs(int n) { int[] dp = new int[n + 1]; dp[n] = 1; dp[n-1] = 1; for(int i = n-2; i >=0;i--) { dp[i] = dp[i+1] + dp[i+2]; } return dp[0]; }
進階版，二維的動態規划
https://leetcode-cn.com/problems/number-of-ways-to-stay-in-the-same-place-after-some-steps/
①在超時的思路上寫出一組計算過程的例子
超時的思路肯定是像搜索一樣模擬所有的行走過程。
先假設1個steps=5, arrlen=3的情況
隨便先列幾個。模擬一下不斷走的位置。數字指的是當前位置。
0->1->2->1->0->0
0->1->2->1->1->0
0->1->1->1->1->0
0->1->1->1->0->0
0->0->1->1->1->0
……
②在超時例子的基礎上，有哪些重復、浪費的地方？
0->1->2->1->0->0
0->1->2->1->1->0
0->1->1->1->1->0
0->1->1->1->0->0
0->0->1->1->1->0
0->0->1->1->0->0
我發現這部分標粗的部分重復了，
換句話說
當我還剩2步且當前位置為1的時候，后面還有多少種走法，其實早就知道了。
③如何定義dp數組？
重新看這句話：
當我還剩2步且當前位置為1的時候，后面還有多少種走法，其實早就知道了。
涉及了2個關鍵因素: 剩余步數和當前值，所以得用二維數組
因此
dp[realstep][index]
就代表了 剩余步數為step且位置為index時， 后續還剩多少種走法。
④狀態的變化方向是什么，是怎么變化的
- 先思考變化方向
“當我還剩2步且當前位置為1的時候，后面 還有多少種走法，其實早就知道了。”
這個后面是指啥， 后面會怎么變?
后面肯定是步數越來越少的情況， 並且位置會根據規律變化。 所以變化方向是步數變少，位置則按照規定去變。
那么這個固定越來越少的這個“剩余步數”，就是核心的變化方向。
我們計算時，可以先計算小的剩余步數的狀態， 再去算大的剩余步數。
- 如何變化
根據題意和方向，剩余步數肯定-1， 然后位置有3種選擇（減1，不變，加1）， 那么方法就是3種選擇的相加。
dp[step][index] = dp[step-1][index-1] + dp[step-1][index] + dp[step-1][index+1]
⑤邊界狀態是什么？
剩余步數為0時，只有當前位置為0才是我們最終想要的方案，把值設為1並提供給后面用，其他位置且步數為0時都認為是0。
dp[0][0] = 1；
dp[0][index] = 0；（index>0)
實現
那么最終出來了
- 定義：dp{realstep][index]: 剩余步數為step且位置為index時， 后續還剩多少種走法。
- 方向和變化：dp[step][index] = dp[step-1][index-1] + dp[step-1][index] + dp[step-1][index+1]
- 邊界: dp[0][0] = 1；
內存溢出處理
不過這題因為是困難題，所以給上面這個公式設立了一個小難度：
數組長度非常大，導致如果index的范圍我們選擇為0~arrLen-1, 那么最大情況dp[500][10^6]注定超時內存范圍。
這時候就要去思考index設那么大是不是沒必要
一般我們可以自己列這種情況的小例子，例如
step=2, arr=10
然后看下index有沒有必要設成0~9，隨便走幾步
0->1->0
0->1->0
0->0->0
嗯？我發現就3種情況，arr后面那么長不用啦？
於是發現規律：
剩余的步數，必須支撐他返回原點！
也就是說，其實index的最大范圍最多就是step/2， 不能再多了，再多肯定回不去了。
於是問題解決。
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