動態規划之狀態壓縮

狀態壓縮動態規划（簡稱狀壓dp）是另一類非常典型的動態規划，通常使用在NP問題的小規模求解中，雖然是指數級別的復雜度，但速度比搜索快，其思想非常值得借鑒。

為了更好的理解狀壓dp，首先介紹位運算相關的知識。

1.’&’符號，x&y，會將兩個十進制數在二進制下進行與運算，然后返回其十進制下的值。例如3(11)&2(10)=2(10)。

2.’|’符號，x|y，會將兩個十進制數在二進制下進行或運算，然后返回其十進制下的值。例如3(11)|2(10)=3(11)。

3.’^’符號，x^y，會將兩個十進制數在二進制下進行異或運算，然后返回其十進制下的值。例如3(11)^2(10)=1(01)。

4.’<<’符號，左移操作，x<<2，將x在二進制下的每一位向左移動兩位，最右邊用0填充，x<<2相當於讓x乘以4。相應的，’>>’是右移操作，x>>1相當於給x/2，去掉x二進制下的最有一位。

這四種運算在狀壓dp中有着廣泛的應用，常見的應用如下：

1.判斷一個數字x二進制下第i位是不是等於1。

方法：if ( ( ( 1 << ( i - 1 ) ) & x ) > 0)

將1左移i-1位，相當於制造了一個只有第i位上是1，其他位上都是0的二進制數。然后與x做與運算，如果結果>0，說明x第i位上是1，反之則是0。

2.將一個數字x二進制下第i位更改成1。

方法：x = x | ( 1<<(i-1) )

證明方法與1類似，此處不再重復證明。

3.把一個數字二進制下最靠右的第一個1去掉。

方法：x=x&(x-1)

感興趣的讀者可以自行證明。

下面來一道狀態壓縮的例題（然而弱雞的我例題都做了好久。。。）

https://www.luogu.org/problemnew/show/1896

整理一下思路。

所謂的狀態壓縮，我個人認為是用時間換方便，將所有情況匯集在一個數里，本來是要用多個維度才能表示的情況換作一個維度。

可能一道題有多種狀態，而每種狀態都需要我們去討論，而如果為每個狀態都單獨開一個數組來存儲狀態，那就GG了，根本存不下。

所以我們就把10進制的轉換為二進制來存儲，二進制每一位0,1都可以表示選擇與否，一個二進制數就可以完成對多種狀態的存儲。

然而對與時間復雜度卻是指數級的，所以對於數據范圍大的，這個就無法使用了。

來波代碼

#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
long long f[100][900][1000];//f[行數][國王個數][狀態];
int way[105];
int num[105];
int find(int n,int all)
{
    int j=0;
    for(int i=0;i<=all;i++)
    {
        if((i&(i<<1))==0&&(i&(i>>1))==0)
        {            
            j++;
            way[j]=i;
            int x=i;
            int nn=0;
            while(x>0)
            {
                nn++;
                x=x-(x&(-x));
                //每執行一次這項操作，會消去x作為二進制數時最右端的一個1。 
            }
            num[j]=nn;
        }
    }
    return j;
}
bool search(int s2,int s1)//判斷兩種狀態是否沖突。
{
    if((s2&(s1<<1))==0&&(s1&(s2<<1))==0&&(s1&s2)==0)
    return true;
    else
    return false;
}
int main()
{
    int n,k1;
    scanf("%d%d",&n,&k1);
    int all=1<<n;
    all--;//總共存在的狀態數
    int nway=find(n,all);//找出一行中不會沖突的最多方案的個數
    for(int i=1;i<=nway;i++)
    {
        f[1][num[i]][way[i]]=1;
    }
    for(int i=2;i<=n;i++)//行數
    for(int j=1;j<=nway;j++)//上一行狀態 
    for(int t=1;t<=nway;t++)//這一行狀態 
    {
        if(search(way[j],way[t]))
        {
            for(int g=num[t];g<=k1;g++)
            {
                f[i][g][way[t]]+=f[i-1][g-num[t]][way[j]];
                //狀態轉移方程。
            }
        }
    }
    long long tot=0ll;//記住要使用long long型不然就像我一樣交了半天都不對。
    for(int i=1;i<=nway;i++)
    {
        tot+=f[n][k1][way[i]];
    }
    printf("%lld",tot);
    return 0;
}