數學基礎 2

本文轉載自查看原文 2021-06-19 22:03 50 筆記

數學基礎

數學基礎

前言

又回來整理前面學的都忘干凈了...

大多數(~~或者是全部~~)定理只有結論不涉及證明代碼如果可以的話后面會補充

由於不分篇目的原因內容勢必會非常雜亂但是應該不會分開寫了反正也沒人看

前面其實已經有數學基礎1了這是 2 寫的原因是上一遍和沒學差不多

所以有些東西是重復的

或許后面還會有 3 或者 4 什么的也有可能繼續在這個后面寫

3 寫不動了受限於個人水平有些東西學不會理解能力跟不上了 ~~所以開4了(霧~~

平衡三進制

對稱三進制不標准的計數體系數字由 -1, 0, 1 構成基數為 3 用 z 代替 -1

負數即為將正數的數字倒轉負數最高位為 z 正數最高位為 1

轉換

先將一個數表示為 3 進制從最低位開始迭代跳過任何的 0 和 1 遇到 2 時將其變為 z 下一位的數字加 1 遇到 3 變為 0 下一位數字加 1

平衡三進制具有唯一性

一些符號

$[x]$ 表示 $x$ 下取整

$p_k$ 表示第 $k$ 個素數

$\pi(x)$ 表示 $1-$x 范圍內的素數個數

$\mu(x)$ 表示莫比烏斯函數

$\#S$ 表示 $S$ 集合的大小

$\delta(x)$ 表示 $x$ 的最小質因子

$P^+(n)$ 表示 $x$ 的最大質因子

~~雖然並沒有什么用就是了~~

素數

定義

如果一個數除了 $1$ 和它本身外無其他因子這個數被稱為質數否則稱為合數

\[\pi(x) \approx \frac{x}{\ln x} \]

$1$ 既不是素數也不是合數

質因數分解

定義任何一個大於 $1$ 的正整數都能被唯一分解為有限個質數的乘積寫作:

\[N = p_1^{c_1}p_2^{c_2}...p_m^{c_m} \]

唯一分解定理

對於某一正整數 $n$ 其質因數分解的方式是唯一的
正整數除法
將被除數與除數先進行質因數分解再將對應每個素數的指數相減

\[\begin{array} & & 24 \div 8\\ = & (2 ^ 3 \times 3 ^ 1) \div 2^3\\ = & 2^{3 - 3} \times 3^{1 - 0}\\ = & 3 \end{array} \]

有

若 $m \mid n$

則 $n \div m = p_1^{a_1 - b_1} p_2^{a_2 - b_2}...p_m^{a_m - b_m}$

滿足 $a_1 \geq b_1, a_2 \geq b_2 , ...$

驗證 $n$ 是否可以被 $m$ 整除比較兩數質因數分解后的各項質數

素數判定

試除法

不斷嘗試小於 $x$ 且大於 $1$ 的自然數只要有一個能整除 $x$ 則 $x$ 為合數否則 $x$ 是素數

由於約數都是成對存在的所以只需嘗試 $[1, \sqrt x]$ 即可

篩法求素數

埃氏篩

復雜度 $O(n\log ^2n)$

對於枚舉的數枚舉其倍數並且將其倍數標記為合數

一個數會被其所有因子篩一遍造成時間上的浪費至於優化

歐拉篩(線篩)

復雜度 $O(n)$

思路與埃篩基本相同但是保證了每個數只被其最小質因子篩一遍對於枚舉的數 $i$ 如果其之前沒有被標記將其即為質數然后枚舉其質數倍將其倍數標記為合數在 $i \mod 第j個素數 = 0$ 時結束枚舉

費馬小定理

如果 $p$ 為質數有整數 $a$ 且 $a \bot p$ 則 $a^{p - 1} \equiv 1 \mod p$

與歐拉定理的關系

當 $p$ 為質數時

\[\varphi(p) = p - 1 \]

此時的歐拉定理可寫為

\[a^{\varphi(p)} \equiv 1 \mod p\\ a_{p - 1} \equiv 1 \mod p \]

即費馬小定理

費馬小定理即歐拉定理中 $p$ 為質數時的特殊情況

二次探測定理

若 $p$ 為質數且 $x^2 \equiv 1 \mod p$

那么 $x \equiv 1 \mod p$ 和 $x \equiv p - 1\mod p$ 中的一個成立

$p \mid (x + 1)(x - 1)$

約數

定義

如果 $a \mid b$ 則 $a$ 為 $b$ 的約數 $b$ 為 $a$ 的倍數

特別地任何數都是 $0$ 的約數

一般地有 $1 \mid a$ 與 $a \mid a$ 則 $1$, $a$ 稱 $a$ 的平凡因子

約數的幾種求法

試除法

枚舉 $[1, \sqrt n]$ 中所有整數進行試除判斷 $n$ 能否整除
優化

當求 $[1, n]$ 中所有數的約數時上面的試除法復雜度就變成了 $O(n \sqrt n)$

$1$ 到 $n$ 中一一個數 $x$ 為約數的數 $x, 2x, 3x, ..., \lfloor \frac nx \rfloor \times x$ 枚舉到 $x$ 的時候枚舉 $x$ 的倍數使他們的約數加上一個 $x$

復雜度 $O(n\log n)$

對任意數 $n$ 求約數個數

根據 $n = p_1^{c_1}p_2^{c_2}...p_m^{c_m}$

通項公式: $num = \sum_{i = 1}^m(c_i + 1)$

對任意數 $n$ 求約數和

通項公式: $sum = \prod_{i = 1}^m\sum_{j = 0}^{c_i}p_i^j$

最大公約數與最小公倍數

最大公約數

定義 : 有 $n$, $m$ 兩整數 $n, m$ 的最大公約數 $d$ 滿足 $d \mid n$ 且 $d \mid m$ 的最大的 $d$ 記作 $d = \gcd(n, m)$ 簡寫為 $(n, m)$

設 $n = p_1^{a_1}p_2^{a_2}...p_k^{a_k}, m = p_1^{b_1}p_2^{b_2}...p_k^{b_k}$

則 $d = p_1^{\min \{a_1, b_1 \}}p_2^{\min \{a_2, b_2 \}}...p_k^{\min \{a_k, b_k \}}$

最小公倍數

定義 : 有 $n$, $m$ 兩整數 $n, m$ 的最小公倍數 $l$ 滿足 $n \mid l$ 且 $m \mid l$ 的最小的 $l$ 記作 $l = lcm(n, m)$ 簡寫為 $[n, m]$

$l = d = p_1^{\max \{a_1, b_1 \}}p_2^{\max \{a_2, b_2 \}}...p_k^{\max \{a_k, b_k \}}$

另有 $(n, m) \times [n, m] = nm$

互質

定義 : 若 $\gcd(a, b) = 1$ 稱 $a, b$ 互質記為 $a \bot b$

即: 當 $a, b$ 進行質因數分解之后沒有相等的質因數

性質 :

對於兩個不同的質數 $m, n$ 有 $\gcd(n, m) = 1$
對於任意相鄰的整數 $n, m$ 有 $\gcd(n, m) = 1$
對任意自然數 $n$ 有 $\gcd(n, 1) = 1$
一個質數 $m$ 和一個合數 $n$ 若 $m \nmid n$ 則 $\gcd(n, m) = 1$

歐拉函數

定義 : 對正整數 $n$ 滿足 $a \bot n$ $a < n$ 的 $a$ 的個數即為 $n$ 的歐拉函數的值記作 $\varphi(n)$

性質:

$\varphi(1) = 1$
$\varphi(p) = p - 1$
若 $n \bot m$ 則 $\varphi(nm) = \varphi(n)\varphi(m)$
當 $n$ 為奇數 $\varphi(2n) = \varphi(n)$
$\varphi(p^a) = p^a(1 - \frac 1p)$
對任意大於 $1$ 的正整數 $n$ 有$\varphi(n) = n\prod_{i = 1}^n(1 - \frac 1{p_i})$

對 5 :

比 $p^a$ 小的數有 $p^a - 1$ 個與 $p^a$ 不互質的數一定是 $p$ 的倍數 $p$ 的倍數可以表示為 $tp, t \in [1, p_{a - 1} - 1]$

與 $p$ 互質的數的個數:

$\varphi(p^a) \\ = (p^a - 1) - (p^{a - 1} - 1) \\ = p^a - p^{a - 1} \\ = p^{a - 1}(p - 1) \\ = p^a(1 - \frac 1p)$

對 6 :

設 $n = p_1^{c_1}p_2^{c_2}...p_k^{c_k}$

$\varphi(n) \\ = \varphi(p_1^{c_1}p_2^{c_2}...p_k^{c_k}) \\ = \varphi(p_1^{c_1})\varphi(p_2^{c_2})...\varphi(p_k^{c_k}) \\ = p_1^{c_1}(1 - \frac 1{p_1})p_2^{c_2}(1 - \frac 1{p_2})...p_k^{c_k}(1 - \frac 1{p_k}) \\ = (p_1^{c_1}p_2^{c_2}...p_k^{c_k}) \times (1 - \frac 1{p_1})(1 - \frac 1{p_2})...(1 - \frac 1{p_k}) \\ = n\prod_{i - 1}^n(1 - \frac 1{p_i})$

歐拉函數篩(咕)

眾所周知有個叫歐拉函數篩的東西還有歐拉線篩可以在篩質數的時候順便篩一下歐拉函數這里先咕着后面補

記着這個在 1 里面是有的

歐拉定理

對於兩個互質的數 $a, p$ 有 $a^{\varphi(p)} \equiv 1 \mod p$

關於同余的一些概念

反身性: $a \equiv a \mod m$
對稱性: 若 $a \equiv b \mod m$ 則 $b \equiv a \mod m$
傳遞性: 若 $a \equiv b \mod m$ 且 $b \equiv c \mod m$ 則 $a \equiv c \mod m$
若 $a \equiv b \mod m, c \equiv d \mod m$ 則 $a \pm c \equiv b \pm d \mod m$
若 $a \equiv b \mod m, c \equiv d \mod m$ 則 $ac \equiv bd \mod m$
若 $a \equiv b \mod m, n \in N$ 則 $a^n \equiv b^n \mod m$
若 $ac \equiv bd \mod m$ 則 $a \equiv b \mod \frac m{(c, m)}$ 當 $(c, m) = 1$ 時 $a \equiv b \mod m$
若 $a \equiv b \mod m_i, i = 1, 2, ..., k$ 則 $a \equiv b \mod [m_1, m_2, ..., m_k]$

歐幾里得與擴展歐幾里得

歐幾里得定理

$\gcd(a, b) = \gcd(b, a \% b)$ 當 $b = 0$ 時有 $\gcd(a, b) = |a|$

應用: 可以方便的求 $(a, b)$

int gcd(int a, int b) {return b ? gcd(b, a % b) : a;}

裴蜀定理

設 $a, b$ 為不全為 $0$ 的整數則存在 $x, y$ 使 $ax + by = \gcd(a, b)$

特別的當 $\gcd(a, b) = 1$ 則存在 $x, y$ 使 $ax + by = 1$

題目: 裴蜀定理

大概是定理的推廣形式

代碼

/*
  Time: 6.19
  Worker: Blank_space
  Source: P4549 【模板】裴蜀定理
*/
/*--------------------------------------------*/
#include<cstdio>
#define Abs(x) ((x) < 0 ? -(x) : (x))
/*--------------------------------------頭文件*/
int n, ans;
/*------------------------------------變量定義*/
inline int read() {
	int x = 0, f = 1; char ch = getchar();
	while(ch < '0' || ch > '9') {if(ch == '-') f = -1; ch = getchar();}
	while(ch >= '0' && ch <= '9') {x = (x << 3) + (x << 1) + (ch ^ 48); ch = getchar();}
	return x * f;
}
/*----------------------------------------快讀*/
int gcd(int _a, int _b) {return _b ? gcd(_b, _a % _b) : _a;}
/*----------------------------------------函數*/
int main() {
	n = read(); ans = read(); ans = Abs(ans);
	for(int i = 2, x; i <= n; i++) x = read(), ans = gcd(ans, Abs(x));
	printf("%d", ans);
	return 0;
}

擴展歐幾里得

對於不完全為 $0$ 的兩個數 $a, b$ 必然存在無數個 $x, y$ 使方程 $ax + by = \gcd(a, b)$ 成立

求特殊解:

void exgcd(int a, int b, int &d, int &x, int &y) {
    if(b) exgcd(b, a % b, d, y, x), y -= x * (a / b);
    else d = a, x = 1, y = 0;
}

應用:

求解不定方程
求解同余方程
求解模的逆元
求解同余方程組

對 1:

對方程 $ax + by = c$

不定方程 $ax + by = \gcd(a, b)$ 有無數組解

若 $\gcd(a, b) \nmid c$ 則原方程無解

若 $\gcd(a, b) \mid c$ 設 $d = \gcd(a, b)$

原方程可轉化為 $a(x \times \frac dc) + b(y\times \frac dc) = c\times \frac dc$

令 $x_1 = x \times \frac dc, y_1 = y \times \frac dc$ 得

$ax_1 + by_1 = d$ 求解該方程得 $x_1, y_1$

得: $x = x_1 \times \frac cd, y = y_1 \times \frac cd$

既得原方程的解

對 2:

$ax \equiv c \mod b \to ax + nb = c + mb$

有 $ax + (n - m)b = c$ 求解該不定方程所得 $x$ 即為原方程的解

但是這不一定是最小正整數解

x = (x + b) % b;

題目: 同余方程

代碼

/*
  Time: 6.19
  Worker: Blank_space
  Source: P1082 [NOIP2012 提高組] 同余方程
*/
/*--------------------------------------------*/
#include<cstdio>
#define int long long
/*--------------------------------------頭文件*/
inline void File() {
	freopen(".in", "r", stdin);
	freopen(".out", "w", stdout);
}
/*----------------------------------------文件*/
int a, b, d, x, y;
/*------------------------------------變量定義*/
inline int read() {
	int x = 0, f = 1; char ch = getchar();
	while(ch < '0' || ch > '9') {if(ch == '-') f = -1; ch = getchar();}
	while(ch >= '0' && ch <= '9') {x = (x << 3) + (x << 1) + (ch ^ 48); ch = getchar();}
	return x * f;
}
/*----------------------------------------快讀*/
void exgcd(int _a, int _b, int &_d, int &_x, int &_y) {
	if(_b) exgcd(_b, _a % _b, _d, _y, _x), _y -= _x * (_a / _b);
	else _d = _a, _x = 1, _y = 0;
}
/*----------------------------------------函數*/
signed main() {
	a = read(); b = read(); exgcd(a, b, d, x, y); x /= d; printf("%lld", (x % b + b) % b);
	return 0;
}

對 3:

適用於模數不為質數的情況

即解: $x \times inv(x) \equiv 1 \mod p$

令 $a = x, x = inv(x)$ 有 $ax \equiv 1 \mod p$

對 4:

解如下方程組:

$\begin{cases}x \equiv a_1 \mod b_1 \\ x \equiv a_2 \mod b_2 \\ ... \\ x \equiv a_n \mod b_n \end{cases}$

其中 $a, b$ 為非負整數不保證模數互質

求解:

使用 $exgcd$ 對同余方程進行合並

假設當前已經求出了前 $k - 1$ 個方程的解 $x_{k - 1}$ 設 $M = lcm_{i = 1}^{k - 1}b_i$

即前 $k - 1$ 個方程的通解為 $x_{k - 1} + tM$ 現在目標是使第 $k$ 個方程的解為前 $k - 1$ 個方程的通解的同時也滿足第 $k$ 個方程的條件設 $x_k = x_{k - 1} + tM$ 有 $x_{k - 1} + tM \equiv a_k \mod b_k$ 顯然該方程是可解的得 $t$ 的值則可求 $x_k = x_{k - 1} + tM$ 經過 $n$ 次操作后即得原方程組的解

代碼:(數據較大龜速乘)

/*
  Time: 6.19
  Worker: Blank_space
  Source: P4777 【模板】擴展中國剩余定理（EXCRT）
*/
/*--------------------------------------------*/
#include<cstdio>
#define int long long
/*--------------------------------------頭文件*/
inline void File() {
	freopen(".in", "r", stdin);
	freopen(".out", "w", stdout);
}
/*----------------------------------------文件*/
int n, M, ans, d, x, y;
/*------------------------------------變量定義*/
inline int read() {
	int x = 0, f = 1; char ch = getchar();
	while(ch < '0' || ch > '9') {if(ch == '-') f = -1; ch = getchar();}
	while(ch >= '0' && ch <= '9') {x = (x << 3) + (x << 1) + (ch ^ 48); ch = getchar();}
	return x * f;
}
/*----------------------------------------快讀*/
int mul(int _a, int _b, int mod, int res = 0) {for(; _b; _a = (_a + _a) % mod, _b >>= 1) if(_b & 1) res = (res + _a) % mod; return res;}
void exgcd(int _a, int _b, int &_d, int &_x, int &_y) {
	if(_b) exgcd(_b, _a % _b, _d, _y, _x), _y -= _x * (_a / _b);
	else _d = _a, _x = 1, _y = 0;
}
/*----------------------------------------函數*/
signed main() {
	n = read(); M = read(); ans = read();
	for(int i = 2; i <= n; i++)
	{
		int b = read(), a = read(); a = ((a - ans) % b + b) % b;
		exgcd(M, b, d, x, y); if(a % d) {puts("-1"); return 0;}
		x = mul(x, a / d, b); ans += x * M; M = M / d * b; ans = (ans % M + M) % M;
	}
	printf("%lld", ans);
	return 0;
}

乘法逆元

對於在模意義下的除法對模數 $p$ 和除數 $x$ 往往可以找到一個特殊的數 $y$ 用 $ \times y$ 代替 $\div x$ 將 $y$ 記作 $x$ 的逆元記作 $inv(x)$

通過定義: $x \times inv(x) \equiv 1 \mod p$

求解逆元

~~這里本來有四種方法但是由於太懶所以變成了三種~~

費馬小定理

只適用於模數為質數的情況這是最常用的一種因為大多數題目的模數都會設為質數(不是刻意卡的話)

費馬小定理: $x^{p - 1} \equiv 1 \mod p$

故有: $x^{p - 1} \equiv x \times inv(x) \mod p$

兩側同除 $x$ 有: $inv(x) \equiv x^{p - 2} \mod p$

所以快速冪直接求 $(x^{p - 2}) \% p$ 即為 $\div x$ 模 $p$ 意義下的逆元
遞推

只適用於模數為質數的情況如果要求的逆元數量很多而且連續就可以使用遞推

$inv(i) = -\lfloor \frac pi \rfloor \times inv(p \% i) \% p$

正確性:

設 $p = ik + r$

有 $p \equiv 0 \mod p$

故 $ik + r \equiv 0 \mod p$

兩邊同乘 $inv(i)inv(r)$

有 $i \times inv(i) \times k \times inv(r) + r \times inv(r) \times inv(i) \equiv 0 \mod p$ 化簡得 $k \times inv(r) + inv(i) \equiv 0 \mod p$

故 $inv(i) \equiv -k \times inv(r) \mod p$

即 $inv(i) \equiv -\lfloor \frac pi \rfloor \times inv(p \% i) \mod p$

但是是求最小正整數解加個 $p$ 調一下

即 $inv(i) = (p - \lfloor \frac pi \rfloor) \times inv(p \% i) \% p$
擴展歐幾里得

模數可以不為質數

由逆元的定義 $x \times inv(x) \equiv 1 \mod p$

把這個東西當做同余方程來解就好了

題目: 乘法逆元

這個題目適合用線性求逆元

代碼

/*
  Time: 6.19
  Worker: Blank_space
  Source: P3811 【模板】乘法逆元
*/
/*--------------------------------------------*/
#include<cstdio>
#define int long long 
/*--------------------------------------頭文件*/
const int C = 1e6 + 7;
/*------------------------------------常量定義*/
inline void File() {
	freopen(".in", "r", stdin);
	freopen(".out", "w", stdout);
}
/*----------------------------------------文件*/
int n, p, inv[C << 2];
/*------------------------------------變量定義*/
inline int read() {
	int x = 0, f = 1; char ch = getchar();
	while(ch < '0' || ch > '9') {if(ch == '-') f = -1; ch = getchar();}
	while(ch >= '0' && ch <= '9') {x = (x << 3) + (x << 1) + (ch ^ 48); ch = getchar();}
	return x * f;
}
/*----------------------------------------快讀*/

/*----------------------------------------函數*/
signed main() {
	n = read(); p = read(); inv[1] = 1;
	for(int i = 2; i <= n; i++) inv[i] = (p - p / i) * inv[p % i] % p;
	for(int i = 1; i <= n; i++) printf("%lld\n", inv[i]);
	return 0;
}

題目: 有理數取余

看一眼高精!?

高個鬼要模數干啥的

費馬小定理的寫法

代碼

/*
  Time: 6.19
  Worker: Blank_space
  Source: P2613 【模板】有理數取余
*/
/*--------------------------------------------*/
#include<cstdio>
#define int long long
/*--------------------------------------頭文件*/
const int mod = 19260817;
/*------------------------------------常量定義*/
int a, b;
/*------------------------------------變量定義*/
inline int read() {
	int x = 0, f = 1; char ch = getchar();
	while(ch < '0' || ch > '9') {if(ch == '-') f = -1; ch = getchar();}
	while(ch >= '0' && ch <= '9') {x = ((x << 3) + (x << 1) + (ch ^ 48)) % mod; ch = getchar();}
	return x * f;
}
/*----------------------------------------快讀*/
int power(int _a, int _b, int res = 1) {for(; _b; _a = _a * _a % mod, _b >>= 1) if(_b & 1) res = res * _a % mod; return res;}
/*----------------------------------------函數*/
signed main() {
	a = read(); b = read(); printf("%lld", a * power(b, mod - 2) % mod);
	return 0;
}
//話說為什么這個代碼能過啊...
//感覺數據范圍會炸的可以看一眼快讀
//數據里面好像並沒有無解的數據點

擴展歐幾里得的寫法

代碼

/*
  Time: 6.19
  Worker: Blank_space
  Source: P2613 【模板】有理數取余
*/
/*--------------------------------------------*/
#include<cstdio>
#define int long long
/*--------------------------------------頭文件*/
const int mod = 19260817;
/*------------------------------------常量定義*/
int a, b, d, x, y;
/*------------------------------------變量定義*/
inline int read() {
	int x = 0, f = 1; char ch = getchar();
	while(ch < '0' || ch > '9') {if(ch == '-') f = -1; ch = getchar();}
	while(ch >= '0' && ch <= '9') {x = ((x << 3) + (x << 1) + (ch ^ 48)) % mod; ch = getchar();}
	return x * f;
}
/*----------------------------------------快讀*/
void exgcd(int _a, int _b, int &_d, int &_x, int &_y) {
	if(_b) exgcd(_b, _a % _b, _d, _y, _x), _y -= _x * (_a / _b);
	else _d = _a, _x = 1, _y = 0;
}
/*----------------------------------------函數*/
signed main() {
	a = read(); b = read(); exgcd(b, mod, d, x, y); x /= d; x = (x % mod + mod) % mod; printf("%lld", a * x % mod);
	return 0;
}

擴展歐拉定理

模 $p$ 意義下對於 $a^b$ 有

$a^b \equiv \begin{cases}a^b & b < \varphi(p) \\ a^{b\ mod\ \varphi(p) + \varphi(p)} & b \geq \varphi(p) \end{cases}$

眾所周知有一個叫歐拉篩的東西雖然對這個題並沒有什么用

題目: 擴展歐拉定理

很驚喜的發現 $b$ 后面跟着一大坨令人惡心的東西然后又發現直接篩歐拉函數復雜度就會爆炸但是這里只需要求一個數的歐拉函數值根據前面 $\varphi(n) = n\prod(1 - \frac 1{p_i})$ 考慮對 $n$ 質因數分解直接試除

代碼

/*
  Time: 6.19
  Worker: Blank_space
  Source: P5091 【模板】擴展歐拉定理
*/
/*--------------------------------------------*/
#include<cstdio>
#define int long long
/*--------------------------------------頭文件*/
const int INF = 1e14;
/*------------------------------------常量定義*/
inline void File() {
	freopen(".in", "r", stdin);
	freopen(".out", "w", stdout);
}
/*----------------------------------------文件*/
int a, b, m, phi = INF, ans = 1;
bool flag;
/*------------------------------------變量定義*/
inline int read() {
	int x = 0, f = 1; char ch = getchar();
	while(ch < '0' || ch > '9') {if(ch == '-') f = -1; ch = getchar();}
	while(ch >= '0' && ch <= '9') {
		x = (x << 3) + (x << 1) + (ch ^ 48);
		if(x >= phi) flag = 1, x %= phi; ch = getchar();
	}
	return x * f;
}
/*----------------------------------------快讀*/
int power(int _a, int _b, int res = 1) {for(; _b; _a = _a * _a % m, _b >>= 1) if(_b & 1) res = res * _a % m; return res;}
/*----------------------------------------函數*/
signed main() {
	a = read(); m = read(); phi = m; int tmp = m;
	for(int i = 2; i * i <= m; i++) if(!(tmp % i))
	{
		phi -= phi / i;
		while(!(tmp % i)) tmp /= i;
	}
	if(tmp > 1) phi -= phi / tmp; b = read() + flag * phi;
	printf("%lld", power(a, b));
	return 0;
}

題目: 上帝與集合的正確用法(待完成)

免責聲明！

本站轉載的文章為個人學習借鑒使用，本站對版權不負任何法律責任。如果侵犯了您的隱私權益，請聯系本站郵箱yoyou2525@163.com刪除。

猜您在找 數學基礎 1 深度學習-數學基礎數學基礎之梯度數學基礎之勾股數 AES的數學基礎 RSA算法及數學基礎數學基礎之微積分基礎數學知識碼農眼中的數學之～數學基礎人工智能必備數學基礎：高等數學基礎（1）

數學基礎 2

數學基礎

前言

平衡三進制

一些符號

素數

定義

質因數分解

素數判定

篩法求素數

費馬小定理

二次探測定理

約數

定義

約數的幾種求法

對任意數 \(n\) 求約數個數

對任意數 \(n\) 求約數和

最大公約數與最小公倍數

最大公約數

最小公倍數

互質

歐拉函數

歐拉函數篩(咕)

歐拉定理

關於同余的一些概念

歐幾里得與擴展歐幾里得

歐幾里得定理

裴蜀定理

擴展歐幾里得

乘法逆元

擴展歐拉定理

免責聲明！

數學基礎 2

數學基礎

前言

平衡三進制

一些符號

素數

定義

質因數分解

素數判定

篩法求素數

費馬小定理

二次探測定理

約數

定義

約數的幾種求法

對任意數 \(n\) 求約數個數

對任意數 \(n\) 求約數和

最大公約數 與 最小公倍數

最大公約數

最小公倍數

互質

歐拉函數

歐拉函數篩(咕)

歐拉定理

關於同余的一些概念

歐幾里得與擴展歐幾里得

歐幾里得定理

裴蜀定理

擴展歐幾里得

乘法逆元

擴展歐拉定理

免責聲明！

最大公約數與最小公倍數