碼農眼中的數學之～數學基礎

 

寫在前面：文章里面的圖片公式都是逆天一個個打出來畫出來的，公式系列基本上都提供了源碼

圖片基本上不太加水印了，加了的也留了空間可以讓你裁剪去水印，這樣你引用也比較方便 ～

但是還是想說下：”加個參考鏈接唄，逆天寫作也不容易啊～“

在線預覽：http://github.lesschina.com/python/ai/math/數學基礎.html

---

1.基礎概念¶

線性代數研究的是什么內容？

1. 把2維世界轉換成2維的世界
2. 把3維世界轉換成2維的世界
3. 把2維世界轉換成3維的世界

1維直線、2維平面（長寬）、3維空間（長寬高 | xyz軸）、4維時空（xyz軸+時間軸）

學習中主要就是學習矩陣、向量等，理解線性映射、特征值和特征向量等。

總結：線性代數就是一門將M維世界與N維世界聯系起來的學科

1.1.數的分類¶

一開始人們用的數都是 自然數 (0、1、2...)來計算

后來發現用小數減大數就沒法計算了。eg：1-2=?

接着就引入了負數，然后常用的數就變成了 整數 (正整數、0、負整數)，這樣就可以快樂的加減乘運算

整數：

• 自然數
• 負數

---

后來發現，像1/3=?這類的不能整除了，於是就引入了分數，

這樣數的界限又擴充了，就叫 有理數 ，這樣加減乘除都可以通過分數來表示了

有理數（分數）：

• 整數
  • 正整數
  • 0
  • 負整數

---

好景不長，之后求圓面積啥的，又發現了像π、√3這類的，沒法用分數表示的數，

於是就又在原有基礎上擴展了，加入了無理數，數的界限又擴展了==> 實數

實數（小數）：

1. 有理數（分數）
   • 整數
     • 正整數
     • 0
     • 負整數
   • 非整數的有理數
2. 無理數

---

這下總算可以了吧，可事實往往出乎意料，像二次曲線求解有無解的情況（曲線跟x軸不相交）

這太不科學了吧，然后就引入了 虛數i 的概念，並定義i²=-1，數的范圍又擴大了，就叫 復數

舉個例子(后面有推導)：

$$x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}$$

以前我們遇到：x²+3=0，因為判別式b²-4ac<0 所以方程無解（或者曲線畫出來，看跟x軸有幾個交點==>就說明有幾個解）

其實我們中學學的這個無解，指的是在實數范圍內無解

引入虛數后：x²+3=0==> x²-(-3)=0，因為i²=-1 ==> (x+√3i)(x-√3i)=0 有解了

In [1]:

# 畫個圖看看曲線長什么樣
import matplotlib.pyplot as plt

In [2]:

# 生成x和y的值
x_list = list(range(-10, 11))
y_list = [x**2 + 3 for x in x_list] # 2**3 ==> 8 **是Python里面的冪運算符

print(x_list)
print(y_list)

# 畫圖
plt.plot(x_list, y_list)
# 顯示圖片
plt.show()

 

[-10, -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10]
[103, 84, 67, 52, 39, 28, 19, 12, 7, 4, 3, 4, 7, 12, 19, 28, 39, 52, 67, 84, 103]

 

 

綜上所述，數可以分為：

復數：z = a+bi，i² = -1

1. 實數（虛部b=0）
   • 有理數
     1. 整數
        • 正整數：1、2、3
        • 0
        • 負整數：-1、-2、-3
     2. 非整數的有理數（[正負]分數）
        • [正負]有限小數：0.3 ==> (3/10)
        • [正負]循環小數：0.3333... (1/3)
   • 無理數
     • 無限不循環小數：π、√3
2. 虛數（虛部b!=0）
   • 純虛數（虛部b!=0，且實部a=0）
   • 非純虛數

---

擴展：二次方程求解公式的推導¶

這個應該是初中學的，很多學校教數學就讓背公式，其實這樣容易忘記（你好幾年不接觸數學公式還記得？）會推導才是根本 ：

其實不僅僅是數學公式了，很多程序中的算法也是這樣，都是需要推導的，不然只能用而不能深究，就更不提創新了。不扯了，進入正題：

$\mathbf{ax^2+bx+c=0（a\neq0)}$

要求x，那我們先兩邊同時除以a：

$\mathbf{x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0}$

把和x沒關系的常數移到等號另一邊：

$\mathbf{x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}}$

看到左邊就想到了 ==> $x^2+2ax+a^2$ 我們來湊一下：

$\mathbf{x^2+2*\frac{b}{2a}x+(\frac{b}{2a})^2=(\frac{b}{2a})^2-\frac{c}{a}}$

因為：$x^2+2ax+a^2=(x+a)^2$ 所以可以轉換成：

$\mathbf{(x+\frac{b}{2a})^2=(\frac{b}{2a})^2-\frac{c}{a}}$

把右邊化簡一下：

$\mathbf{(x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2}{4a^2}-\frac{4ac}{4a^2}=\frac{b^2-4ac}{4a^2}}$

去左邊平方（右邊開根號）：

$\mathbf{x+\frac{b}{2a}=\frac{ \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$

把左邊的常數移過去：

$\mathbf{x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$

---

方便有需求的人，推導過程的源碼貼一下：

$ax^2+bx+c=0（a\neq0)$

要求x，那我們先兩邊同時除以a：

$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$

把和x沒關系的常數移到等號另一邊：

$x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$

看到左邊就想到了 ==> $x^2+2ax+a^2$ 我們來湊一下：

$x^2+2*\frac{b}{2a}x+(\frac{b}{2a})^2=(\frac{b}{2a})^2-\frac{c}{a}$

因為：$x^2+2ax+a^2=(x+a)^2$ 所以可以轉換成：

$(x+\frac{b}{2a})^2=(\frac{b}{2a})^2-\frac{c}{a}$

把右邊化簡一下：

$(x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2}{4a^2}-\frac{4ac}{4a^2}=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$

去左邊平方（右邊開根號）：

$x+\frac{b}{2a}=\frac{ \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

把左邊的常數移過去：

$x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

---

1.2.命題相關¶

命題中學階段就接觸了，我們來先說說命題 ：可以判斷真假的語句叫做命題

比如：小明是個男的，這個不管對錯肯定有個確定的答案

再比如：小明是活潑好學的孩子，這個就不一定了，公說公有理婆說婆有理，這種結果模糊不確定的就不是命題

---

充分條件和必要條件

這個時間長了容易混淆，舉個例子：小明是人類，人類是小明

通過小明肯定能推出他是個人，這個就叫必要條件

人就一定是小明嗎？不一定吧 ==> 這個就是充分條件

如果P成立，Q就成立是真命題時，就可以表示為：P=>Q （由P肯定能推導出Q）（eg：小明=>人）:

1. P是Q的必要條件
2. Q是P的充分條件

---

充分必要條件：

如果P=>Q，而且Q=>P，那么：

1. P是Q的充分必要條件
2. Q是P的充分必要條件

表示為：P<=>Q

---

1.3.集合系列¶

集合應該是剛上高中那會教的內容，我們來看看：

集合 （Python里面用 set 來表示）：某種特定性質的對象，匯總成的集體(人以類聚,物以群分) 這些對象稱為該集合的元素。

集合中的元素有三個特征：

1. 確定性（集合中的元素必須是確定的）
2. 互異性（集合中的元素互不相同）eg：集合A={1，a}，則a不能等於1）
3. 無序性（集合中的元素沒有先后之分）eg：集合{3,4,5}和{3,5,4}是同一個集合

表示方式，eg：10以內的偶數：

1. X = {0, 2, 4, 6, 8}
2. X = {2n | n = 0, 1, 2, 3, 4}

當x是X集合里面的元素時，可以表示為：x ∈ X eg:2 ∈ X

In [3]:

# Python3 Code
X = set([x for x in range(10) if x%2==0])

print(X)

 

{0, 2, 4, 6, 8}

In [4]:

# 當x是X集合里面的元素時，可以表示為：x ∈ X
# eg:2 ∈ X
2 in X

Out[4]:

True

 

子集 ：當一個集合A里面所有元素都屬於集合B時，稱A是B的子集。即：A ⊆ B

eg：集合A：{1,2,3} 集合B：{1,2,3,4} ==> A ⊆ B

如果兩個集合A和B的元素完全相同，則稱A與B兩個集合相等，記為 A=B：

集合A：{1,2,3,4} 集合B：{1,2,3,4} ==> A ⊆ B and B ⊆ A ==> A = B

---

真子集 ：如果集合A是集合B的子集A ⊆ B，並且集合B中至少有一個元素x∉A，那么集合A叫做集合B的真子集

簡單講：如果A包含於B,且A不等於B,就說集合A是集合B的真子集（A有的B全有，B有的A不一定有）

如果集合A中任意一個元素都是集合B中的元素，我們就說這兩個集合有包含關系，稱集合A為集合B的子集。可知任一集合A是自身的子集，空集是任一集合的子集。真子集就是一個集合中的元素全部是另一個集合中的元素，但不存在相等。所有亞洲國家組成的集合是地球上所有國家組成的集合的真子集；所有自然數的集合是所有整數的集合的真子集。

In [5]:

A = set([1,2,3])
B = set([1,2,3,4])

print(A)
print(B)

 

{1, 2, 3}
{1, 2, 3, 4}

In [6]:

# 子集（判斷A是否是B的子集）
A.issubset(B)

Out[6]:

True

In [7]:

# 父集（B是否是A的父集）
B.issuperset(A)

Out[7]:

True

In [8]:

A = B

A.issubset(B)

Out[8]:

True

 

並集 ：由所有屬於集合A或屬於集合B的元素所組成的集合，讀作“A並B”（或“B並A”）並集越並越多，而且沒有重復元素。

記作A∪B or B∪A，即 A∪B={x|x∈A,或x∈B}

---

交集 ：由屬於A且屬於B的相同元素組成的集合，讀作“A交B”（或“B交A”）交集越交越少。

記作A∩B or B∩A，即 A∩B={x|x∈A,且x∈B}

若A包含B，則A∩B=B，A∪B=A

---

差集 ：A，B是兩個集合，所有x∈A且x∉B的元素構成的集合，叫做集合A減集合B（或集合A與集合B之差）

類似地，對於集合A、B，我們把集合 A-B={x∣x∈A,且x∉B} 叫做A與B的差集（把B中元素從A中減去）

---

補集 ：一般指絕對補集，即一般地，設S是一個集合，A是S的一個子集（S包含於A）（大前提），由S中所有不屬於A的元素組成的集合，叫做子集A在S中的絕對補集。

擴展：在集合論和數學的其他分支中，存在補集的兩種定義：相對補集和絕對補集

In [9]:

set1=set([1,2,5])
set2=set([2,4,6])

print(set1)
print(set2)

 

{1, 2, 5}
{2, 4, 6}

In [10]:

# 交集 A∩B={x|x∈A,且x∈B}
set1 & set2

Out[10]:

{2}

In [11]:

# 並集 A∪B={x|x∈A,或x∈B}
set1 | set2

Out[11]:

{1, 2, 4, 5, 6}

In [12]:

# 差集 A-B={x∣x∈A,且x∉B}
set1 - set2

Out[12]:

{1, 5}

In [13]:

set3=set(list(range(10)))

print(set3)

 

{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

In [14]:

# 【大前提】set2是set3的一個子集（set3包含於set2）
set2.issubset(set3)

Out[14]:

True

In [15]:

# 這時候求差集，就等於求補集
set3 - set2

Out[15]:

{0, 1, 3, 5, 7, 8, 9}

 

1.4.映射系列（映射、像、定義域和值域、滿單射、雙射、逆映射、線性映射等）¶

這個系列應該是高一的知識

1.映射與像 ：¶

設A,B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應關系f，使對於集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一的元素y與之對應，那么就稱對應的規則f 為從集合A到集合B的映射 一般這樣表示：f：A → B。其中，y稱為元素x在映射f下的 像 ，記作：y=f(x)。

通俗講：

把使集合A的元素與集合B的元素相對應的規則叫做 “集合A到集合B的映射”

如果從A集合中取元素x，通過f得到其對應B集合的元素y。這個新的元素就叫做：“x通過映射f形成的像”

像這個說的還是有點抽象，舉個簡單的例子：

高中的時候經常做這樣的練習：f(x)=2x+1

用映射來解釋就是：“映射 f 是使集合B的元素 2x+1 與集合A的元素 x 相對應的規則” 再解釋像就簡單了：f(2)

x=2 通過 f 形成的像是 2*2+1

2.值域和定義域：¶

我們把映像f產生的值組成一個集合{f(0)、f(1)、f(2)...}，這個集合就叫做“映像f的值域”。

而x值組成的集合 {0、1、2...} 就叫做“映像f的定義域”。

這個值域的集合往往是集合B的子集：$\lbrace f(x_1)，f(x_2)...f(x_n)\rbrace \subseteq B$

比如說：f(x)=2x+1 定義域A{0、1、2、3}，那么求出來的值域是：{1、3、5、7}，而B集合是{1、3、5、7、8}

 

3.滿射、單射、雙射：¶

滿射：如果值域任何元素都有至少有一個變量與之對應，那這個映射就叫做滿射。

來個示意圖：f(x)=x$^2$ 其實老版本的教科書還有一種說法叫做：”當映射f的值域等於集合B時，f為滿射“

---

單射：設f是由集合A到集合B的映射，如果所有x,y∈A,且x≠y，都有f(x)≠f(y),則稱f為由A到B的單射（函數f被稱為是單射時，對每一值域內的y，存在至多一個定義域內的x使得f(x) = y）

來個圖示：（兩種情況都是）

---

雙射 (一一映射)：既是單射又是滿射的映射稱為雙射

圖示：（偷個懶，拿上面的圖片改改）

 

4.逆映射：¶

這次先不定義，先看個圖：

看完圖基本上懂了（映射g就是映射f的逆映射），現在來定義一下：

逆映射 :

當f是雙射（一一對應的單射）並且映射f和映射g滿足：

1. g(f(x))=x
2. f(g(x))=x

那么映射g就是映射f的逆映射，表示方式：$f^{-1}:B\rightarrow A$

5.線性映射¶

后面說線性回歸之類的代碼和數學知識時會講，這邊因為也是屬於映射內容，所以簡單提一下定義：

假設 $x_1$ 和 $x_2$ 是屬於A集合中的任意元素，c 為任意實數，f 為從A到B的映射。

當映射f滿足以下兩個條件：

1. $f(x_1)+f(x_2)=f(x_1+x_2)$
2. $cf(x_1)=f(cx_1)$

那么映射f就是從A到B的線性映射

舉個例子：f(x)=x 驗證一下：是線性映射

$f(x_1)+f(x_2)=x_1+x_2=f(x_1+x_2)$

$cf(x_1)=cx_1=f(cx_1)$

再測試一個不是的：f(x)=x+1 驗證一下：

$f(x_1)+f(x_2)=x_1+x_2+2$

$f(x_1+x_2)=x_1+x_2+1$

$f(x_1)+f(x_2)\neq f(x_1+x_2)$

后面都不用驗證了，不是線性映射

 

1.5.排列組合¶

這個應該是高二的時候學的，簡單提一下

排列組合 ：

1. 排列：從給定個數的元素中取出指定個數的元素進行排序
2. 組合：從給定個數的元素中僅僅取出指定個數的元素，不考慮排序

通俗講：

組合個數：“從n個中挑出r個的個數” 一般用 $C^r_n$ 來表示(n>=r)

$\Large {C^r_n=\frac{n!}{r!(n-r)!}}$

排列個數：“從n個中挑出r個的個數，然后再把選好的r個事物按照順序排列的種數” 一般用 $A^r_n$ 來表示(n>=r)

$\Large {A^r_n=r!C^r_n=\frac{n!}{(n-r)!}}$

---

如果還抽象的話，我們來看個案例：

小明請小潘和小張一起去食堂吃飯，食堂今天總共有5個菜

1.試問，他們從5個菜中選出3個不同的菜，有幾種可能性？

假設有A、B、C、D、E這5個菜，那選出3個有如下組合(不管順序)：

列舉	列舉	列舉	列舉	列舉	列舉
ABC	ABD	ABE	ACD	ACE	ADE
			BCD	BCE	BDE
					CDE

$\large {C^3_5=\frac{5!}{3!(5-3)!}=\frac{5×4×3×2×1}{3×2×1×2×1}=10}$

---

2.試問，選出的這3個菜有幾種排放順序？

假設選出的是A、B、C這3個菜，那它的排序有幾種可能：

序號	列舉	列舉
A	ABC	ACB
B	BAC	BCA
C	CAB	CBA

其實無論選擇哪3種，他們的排序都是6種，3!=3×2×1=6

簡單分析一下：

第一道菜可以在已經選好的菜里面選1個，那就是3種可能

第二道菜可以在剩下的2道菜中選1個，那就是2種可能（第一道剛才選好了，已經算確定的了）

第三道菜不用選了，因為現在只剩下1道了，那就是1種可能

所以有 3×2×1種可能==>3!=6種可能

---

3.試問，從5個菜中選出3個不同的菜，並按順序打包帶走總共有多少種可能？

排列的個數其實就是：5選3組合個數 × 3道菜可能的排序 = 10 × 6 =60

$\large {A^3_5=\frac{5!}{(5-3)!}=\frac{5×4×3×2×1}{2×1}=60}$

簡單分析推導一下：

第一個菜可以在5道菜里面選一個，那就是5種可能

第二道菜可以在剩下的4道菜里面選一個，那就是4種可能

第三道菜可以在剩下的3道菜里面選一個，那就是3種可能

那總共可能性就是：5×4×3=60種可能性，和上面公式計算一樣結果

---

排列、組合、二項式定理公式口訣：

加法乘法兩原理，貫穿始終的法則。與序無關是組合，要求有序是排列。

兩個公式兩性質，兩種思想和方法。歸納出排列組合，應用問題須轉化。

排列組合在一起，先選后排是常理。特殊元素和位置，首先注意多考慮。

不重不漏多思考，捆綁插空是技巧。排列組合恆等式，定義證明建模試。

關於二項式定理，中國楊輝三角形。兩條性質兩公式，函數賦值變換式。

 

1.5.高中函數附錄¶

以前在網上找的資料，你們有更好的可以貼一下（點我查看）

1.6.高中數學公式¶

以前在網上找的資料，你們有更好的可以貼一下（點我查看）

2.矩陣預告¶

下次和Numpy一起講，這樣才會～數學不枯燥，代碼不空洞