高等數學下冊學習筆記 第八章1到4節

1向量

1.1 線性運算

向量的加法滿足平行四邊形法則，滿足交換律和結合律

向量的數乘滿足結合律和分配率。

以上運算統稱為向量的線性運算。

1.1.1 一些定理

• 設向量 \(a\not = 0\) 則向量 \(b\) 平行於向量 \(a\) 的充分必要條件是存在唯一的實數 \(\alpha\) 使得 \(b=\alpha a\) 。

1.1.2 坐標變換

利用空間直角坐標系可以把向量的線性運算轉化為坐標變換。

設 \(a=a_xi+a_yj+a_zk,b=b_xi+b_yj+b_zk\) ，那么利用向量的線性運算可以得到：

\[a+b=(a_x+b_x)i+(a_y+b_y)j+(a_z+b_z)k\\ \alpha a=(\alpha a_x)i+(\alpha a_y)j+(\alpha a_z)k \]

於是向量的線性運算可以轉化為坐標之間的線性運算。同理，定理 \(1.1.1.1\) 也可以用坐標來表示，即在不考慮分母為 \(0\) 的條件下，若 \(\frac {a_x} {b_x} =\frac {a_y} {b_y} = \frac {a_z} {b_z}\) ，那么 \(a,b\) 平行。

2 公式

\[|r|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\\ |AB|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2} \]

向量與坐標軸的三個夾角的余弦值稱為該向量的方向余弦。

\[(\cos a,\cos b,\cos c)=(\frac{x}{|r|},\frac{y}{|r|},\frac{z}{|r|})=\frac{1}{|r|}(x,y,z)=\frac{r}{|r|}=e_r\Rightarrow \cos^2a+\cos^2b+\cos^2c=1 \]

投影具有與坐標相同的性質。投影是一個實數而非一個向量，代表那段投影向量的長度。記作 \(Prj_ur,(r)_u\) 。

向量的坐標分別是向量在三個坐標軸上的投影。

\[Prj_ua=|a|\cos\alpha,(\alpha 為向量 a 和 u 軸的夾角)\\ (a+b)_u=(a)_u+(b_u)\\ (xa)_u=x(a)_u \]

1.2 數量積，向量積，混合積

1.2.1 數量積

\[a·b=|a||b|\cos \alpha=|a|(b)_a=|b|(a)_b\\ a·a=|a|^2\\ a\perp b\Leftrightarrow a·b=0 \]

向量數量積滿足交換律分配律，實數的結合律。

\[a·b=a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z\\ \cos \beta =\frac {a·b}{|a||b|}=\frac{a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z}{\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}\sqrt{b_x^2+b_y^2+b_z^2}} \]

1.2.2 向量積

\(a\times b=c\Leftrightarrow |c|=|a||b|\sin \alpha\) ，其中 \(c\) 的方向與垂直於 \(a,b\) 所決定的平面，$\alpha $ 始邊為 \(a\) 所在直線。

\[a\times a=0\\ a\times b=0\Leftrightarrow a/\!/b\\ a\times b=-b\times a (a+b)\times c=a\times c+b\times c\\ (xa)\times b=a\times (xb)=x(a\times b)\\ a\times b=\begin{vmatrix}i&j&k\\a_x&a_y&a_z\\b_x&b_y&b_z\end{vmatrix} \]

1.2.3 混合積

\[[abc]=(a\times b)·c=\begin{vmatrix}a_x&a_y&a_z\\b_x&b_y&b_z\\c_x&c_y&c_z\end{vmatrix} \]

混合積具有幾何意義，它的絕對值表示以向量 \(a,b,c\) 為棱的平行六面體的體積。三個向量共面的充分必要條件是 \([abc]=0\) 。

\[[abc]=[bca]=[cab] \]

2 平面，直線及其方程

如果曲面 \(S\) 與三元方程有下列關系：

• 曲面上任意一個點的坐標都滿足方程。
• 不在曲面上的點的坐標都不滿足方程。

那么該方程就叫做曲面 \(S\) 的方程。而曲線可以看做是兩個曲面的交線，故可以聯立兩個曲面來表示曲線。

2.1 平面

如果一個非零向量垂直於這個平面，那么這個向量就叫做該平面的法線向量。

\(A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0\) 稱為平面的點法式方程，其中 \(x_0,y_0,z_0\) 是該平面上的一個點，\((A,B,C)\) 為其法線向量。可以設 \(M(x,y,z)\) 為平面上任意一點，那么可以通過向量數量積來得到上面的式子。

稱 \(Ax+By+Cz+D=0\) 為平面的一般方程。其中法線向量 \(s=(A,B,C)\) 。當 \(D=0\) 平面經過原點，\(A=0\) 這個平面平行於 \(x\) 軸，當 \(A=0,B=0\) 這個平面平行於 \(xOy\) 其余可以以此類推。一般來說，對於平面之間的關系可以轉化為法線向量之間的關系來解決。

若已知平面與三個坐標軸的交點，不妨設為 \(P(a,0,0),Q(0,b,0),R(0,0,c)\) ，我們可以解得所求平面為 \(\frac x a+\frac y b+\frac z c=1\) 。這個方程稱為平面的截距式方程。

兩平面法線向量的夾角稱為兩平面的夾角。設平面為 \(s_1,s_2\) ，法線向量為 \(n_1=(A_1,B_1,C_1),n_2=(A_2,B_2,C_2)\) ，那么有：

\[\cos \alpha =\frac{|A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2|}{\sqrt{A_1^2+B_1^2+C_1^2}\sqrt{A_2^2+B_2^2+C_2^2}}\\ s_1\perp s_2\Leftrightarrow A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2=0\\ s_1/\!/s_2\Leftrightarrow \frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2} \]

點到平面的距離公式：

\[d=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} \]

2.2 直線

方程組：

\[\begin{cases}A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0\\A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0\end{cases} \]

叫做空間直線的一般方程。

如果非零向量平須與一條已知直線，那么這個向量被稱作這條直線的方向向量。已知直線上一點和其方向向量可以確定一條直線。

\[\frac{x-x_0}m=\frac{y-y_0}n=\frac{z-z_0} p \]

稱作直線的對稱式方程，其中 \(s=(m,n,p)\) 為其方向向量，\(M_0(x_0,y_0,z_0)\) 為其直線上一點。我們設上面的式子等於 \(t\) ，那么有：

\[\begin{cases}x=x_0+mt\\y=y_0+nt\\z=z_0+pt\end{cases} \]

這是直線的參數方程。從直線的一般方程轉到對稱式方程可以通過以下步驟：

1. 得到一組特解。
2. 算出兩個平面的法線向量的向量積，取向量積為方向向量。
3. 求解即可。

兩直線的方向向量的夾角叫做兩直線的夾角。所以兩條直線夾角的式子，平行垂直的充要條件和平面那里類似，吧法線向量換成方向向量就可以了。

2.3 平面與直線

直線和它在平面上的投影直線的夾角稱作直線與平面的夾角。設夾角為 \(\alpha\) 。那么有 \(\sin \alpha =\frac{|Am+Bn+Cp|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\)

直線與平面垂直相當於 \(\frac A m=\frac B n=\frac C p\) ，平行相當於 \(Am+Bn+Cp=0\) 。

通過定直線的所有平面的全體被稱為平面束，在解決直線相關問題時，可以考慮轉化成平面來處理。

在解決直線與平面關系時，我們總是期望能夠將這兩者的某些關系轉化為直線與直線或平面與平面之間的關系來解決。