函數的定義|各種函數
函數定義這就沒什么好說的了吧
正規點就是：
設F為二元關系，若對任意的x∈ dom F都存在唯一的y∈ran F，使得x F y成立，則F為函數，y是F在x的函數值
**若集合A有n個元素，集合B有m個元素則A->B的函數個數有 \(n^m\) **
單射函數
若對於任何\(x_1\), \(x_2\)∈A ，x_1≠x_2都有 f(\(x_1\)) ≠ f(\(x_2\)) 則說f具有單射性（即一個y不對應兩個x）
滿射函數
如果ran f=B則說明是滿射函數（即值域全都能取到）
雙射函數
如果f既具有滿射性也具有單射性則說f具有雙射性
雙射函數才有反函數
恆等函數
A上的恆等關系 \(I_A\)稱為A上的恆等函數==> \(I_A\)(x)=x
特征函數
其實對每一次A的子集都有特征函數定義為：
$ X_A(a)=\begin{cases}1,x \in A^,(a屬於A的子集)\\ 0,x \in A-A^,(a不屬於A的子集)\end{cases}$
反函數
再強調一遍雙射函數才有反函數
記為；\(f^{-1}\)
函數的復合
其實注意一下先后順序就沒什么了
復合的結合率
(f og) o h=f o(g o h)
函數的復合不改變函數的單射，雙射，滿射性
若 f 是A->B的函數
\(f^{-1}*f=f*f^{-1}=I_A\)
集合的基數
基數
有限集合的基數簡單來說就是集合的元素個數....（記作|A|）
• f是滿射的，則 |A|≥|B|；
• f是單射的，則 |A|≤|B|； A ≤. B (B優勢於A )
• f為雙射的，則 |A|＝|B|。 A≈B
• f是單射的，且不存在A到B的雙射，則|A|＜|B|
證明集合的勢|基數相同時一般都構造雙射函數
例如：
**證明 (0,1) ≈ R **
證明：構造(0,1)到R的雙射函數。
• f: (0,1) →（-π/2, π/2),f(x)= π(x- 1/2)，顯然f為雙射
• g: (-π/2, π/2) →R,g(x)= tan x ，顯然g為雙射
• 於是f∘g : (0,1) → (π/2, π/2) , f∘g (x)=g(f(x)=tan π(x- 1/2) ，也是雙射函數
故： (0,1) ≈ R
由此可見無限集合的基數與它真子集相等
這是有限集合和無限集合的本質區別
第一次用markdown好累啊