高等数学下册学习笔记 第八章1到4节

1向量

1.1 线性运算

向量的加法满足平行四边形法则，满足交换律和结合律

向量的数乘满足结合律和分配率。

以上运算统称为向量的线性运算。

1.1.1 一些定理

• 设向量 \(a\not = 0\) 则向量 \(b\) 平行于向量 \(a\) 的充分必要条件是存在唯一的实数 \(\alpha\) 使得 \(b=\alpha a\) 。

1.1.2 坐标变换

利用空间直角坐标系可以把向量的线性运算转化为坐标变换。

设 \(a=a_xi+a_yj+a_zk,b=b_xi+b_yj+b_zk\) ，那么利用向量的线性运算可以得到：

\[a+b=(a_x+b_x)i+(a_y+b_y)j+(a_z+b_z)k\\ \alpha a=(\alpha a_x)i+(\alpha a_y)j+(\alpha a_z)k \]

于是向量的线性运算可以转化为坐标之间的线性运算。同理，定理 \(1.1.1.1\) 也可以用坐标来表示，即在不考虑分母为 \(0\) 的条件下，若 \(\frac {a_x} {b_x} =\frac {a_y} {b_y} = \frac {a_z} {b_z}\) ，那么 \(a,b\) 平行。

2 公式

\[|r|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\\ |AB|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2} \]

向量与坐标轴的三个夹角的余弦值称为该向量的方向余弦。

\[(\cos a,\cos b,\cos c)=(\frac{x}{|r|},\frac{y}{|r|},\frac{z}{|r|})=\frac{1}{|r|}(x,y,z)=\frac{r}{|r|}=e_r\Rightarrow \cos^2a+\cos^2b+\cos^2c=1 \]

投影具有与坐标相同的性质。投影是一个实数而非一个向量，代表那段投影向量的长度。记作 \(Prj_ur,(r)_u\) 。

向量的坐标分别是向量在三个坐标轴上的投影。

\[Prj_ua=|a|\cos\alpha,(\alpha 为向量 a 和 u 轴的夹角)\\ (a+b)_u=(a)_u+(b_u)\\ (xa)_u=x(a)_u \]

1.2 数量积，向量积，混合积

1.2.1 数量积

\[a·b=|a||b|\cos \alpha=|a|(b)_a=|b|(a)_b\\ a·a=|a|^2\\ a\perp b\Leftrightarrow a·b=0 \]

向量数量积满足交换律分配律，实数的结合律。

\[a·b=a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z\\ \cos \beta =\frac {a·b}{|a||b|}=\frac{a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z}{\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}\sqrt{b_x^2+b_y^2+b_z^2}} \]

1.2.2 向量积

\(a\times b=c\Leftrightarrow |c|=|a||b|\sin \alpha\) ，其中 \(c\) 的方向与垂直于 \(a,b\) 所决定的平面，$\alpha $ 始边为 \(a\) 所在直线。

\[a\times a=0\\ a\times b=0\Leftrightarrow a/\!/b\\ a\times b=-b\times a (a+b)\times c=a\times c+b\times c\\ (xa)\times b=a\times (xb)=x(a\times b)\\ a\times b=\begin{vmatrix}i&j&k\\a_x&a_y&a_z\\b_x&b_y&b_z\end{vmatrix} \]

1.2.3 混合积

\[[abc]=(a\times b)·c=\begin{vmatrix}a_x&a_y&a_z\\b_x&b_y&b_z\\c_x&c_y&c_z\end{vmatrix} \]

混合积具有几何意义，它的绝对值表示以向量 \(a,b,c\) 为棱的平行六面体的体积。三个向量共面的充分必要条件是 \([abc]=0\) 。

\[[abc]=[bca]=[cab] \]

2 平面，直线及其方程

如果曲面 \(S\) 与三元方程有下列关系：

• 曲面上任意一个点的坐标都满足方程。
• 不在曲面上的点的坐标都不满足方程。

那么该方程就叫做曲面 \(S\) 的方程。而曲线可以看做是两个曲面的交线，故可以联立两个曲面来表示曲线。

2.1 平面

如果一个非零向量垂直于这个平面，那么这个向量就叫做该平面的法线向量。

\(A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0\) 称为平面的点法式方程，其中 \(x_0,y_0,z_0\) 是该平面上的一个点，\((A,B,C)\) 为其法线向量。可以设 \(M(x,y,z)\) 为平面上任意一点，那么可以通过向量数量积来得到上面的式子。

称 \(Ax+By+Cz+D=0\) 为平面的一般方程。其中法线向量 \(s=(A,B,C)\) 。当 \(D=0\) 平面经过原点，\(A=0\) 这个平面平行于 \(x\) 轴，当 \(A=0,B=0\) 这个平面平行于 \(xOy\) 其余可以以此类推。一般来说，对于平面之间的关系可以转化为法线向量之间的关系来解决。

若已知平面与三个坐标轴的交点，不妨设为 \(P(a,0,0),Q(0,b,0),R(0,0,c)\) ，我们可以解得所求平面为 \(\frac x a+\frac y b+\frac z c=1\) 。这个方程称为平面的截距式方程。

两平面法线向量的夹角称为两平面的夹角。设平面为 \(s_1,s_2\) ，法线向量为 \(n_1=(A_1,B_1,C_1),n_2=(A_2,B_2,C_2)\) ，那么有：

\[\cos \alpha =\frac{|A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2|}{\sqrt{A_1^2+B_1^2+C_1^2}\sqrt{A_2^2+B_2^2+C_2^2}}\\ s_1\perp s_2\Leftrightarrow A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2=0\\ s_1/\!/s_2\Leftrightarrow \frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2} \]

点到平面的距离公式：

\[d=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} \]

2.2 直线

方程组：

\[\begin{cases}A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0\\A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0\end{cases} \]

叫做空间直线的一般方程。

如果非零向量平须与一条已知直线，那么这个向量被称作这条直线的方向向量。已知直线上一点和其方向向量可以确定一条直线。

\[\frac{x-x_0}m=\frac{y-y_0}n=\frac{z-z_0} p \]

称作直线的对称式方程，其中 \(s=(m,n,p)\) 为其方向向量，\(M_0(x_0,y_0,z_0)\) 为其直线上一点。我们设上面的式子等于 \(t\) ，那么有：

\[\begin{cases}x=x_0+mt\\y=y_0+nt\\z=z_0+pt\end{cases} \]

这是直线的参数方程。从直线的一般方程转到对称式方程可以通过以下步骤：

1. 得到一组特解。
2. 算出两个平面的法线向量的向量积，取向量积为方向向量。
3. 求解即可。

两直线的方向向量的夹角叫做两直线的夹角。所以两条直线夹角的式子，平行垂直的充要条件和平面那里类似，吧法线向量换成方向向量就可以了。

2.3 平面与直线

直线和它在平面上的投影直线的夹角称作直线与平面的夹角。设夹角为 \(\alpha\) 。那么有 \(\sin \alpha =\frac{|Am+Bn+Cp|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\)

直线与平面垂直相当于 \(\frac A m=\frac B n=\frac C p\) ，平行相当于 \(Am+Bn+Cp=0\) 。

通过定直线的所有平面的全体被称为平面束，在解决直线相关问题时，可以考虑转化成平面来处理。

在解决直线与平面关系时，我们总是期望能够将这两者的某些关系转化为直线与直线或平面与平面之间的关系来解决。