截圖來自於Optics 第5版，作者是Eugene Hecht
安培定律，Ampere's Law,如圖3.9所示，對於一個通電的線，假設有一個環繞電線且垂直於電線的環，環的中心點在電線上，環的半徑為r，電線周圍由環繞電線的磁場，$ \vec{B} $沿着環的積分等於環內的總電流乘以一個常量$ \mu _{0} $
假如電流在橫截面上不是一個均勻的電流，那么用電流密度或者說單位面積的電流$ \vec{J} $在橫截面上的積分來求通過某個橫截面的電流，如下式3-10
式3-10中的$ \mu _{0} $，是一個常數，漢語翻譯為真空磁導率，或者說導磁率啦，對於不同的材料該常數不同，等於真空磁導率乘以一個系數KM
但是當對電容充電時，按照電流的定義，電容的兩個平板之間並沒有電流產生，但還是會有磁場產生。對於電容的兩個平板之間的空間，式3.10沒有辦法計算，因為電容的平板中間沒有電流在流動
對於電容，假設A是一邊平板的面積，Q是一邊平板的電量，那么電容的電場強度為$ E=\frac{Q}{\varepsilon A} $。在對電容充電的過程中，Q隨着時間變化而變化，對應的E也是隨着時間變化而變化，那么$ \frac{\partial E}{\partial t}={\frac{\partial Q}{\partial t}}\frac{1}{{\varepsilon A}} $，而電荷隨着時間的變化等於電流$ {\frac{\partial Q}{\partial t}}=i $，將$ \varepsilon $移動到式子左邊，那么得到下圖中$ \varepsilon \frac{\partial E}{\partial t}=\frac{i}{A} $的式子，式子右側恰好符合電流密度的定義，所以電流密度可以用式子左側來描述。只是此時描述的電流密度是等價意義上的電流密度，而不是電流真的流過，英文是displacement current density，中文翻譯為位移電流，感覺翻譯的不是很好。用符號$ \vec{J}_{D} $來表示
所以安培定律的表達式可以寫成如下形式，電磁場沿着某個線的積分，等於這條閉合線所圍成的面積中通過的電流密度和等價電流密度對整個面積的積分（積分的結果就是這條閉合曲線所圍成的面積內的電流強度）乘以一個系數$ \mu $
當沒有實際的電流流過時，$ \vec{J} $為0，3.13就變成了下方截圖中的3.15
當3,15式子左側，曲線C越來越小越來越小，那么式子兩邊都除以曲線c所包圍的面積，恰好是旋度curl的定義，旋轉是以右手定則中四指指向$ \vec{l} $的方向，大拇指指向的方向為軸，積分的值即為旋度curl的大小，或者說旋轉速度的快慢。這就是安培定律的微分形式。
