調頻連續波原理
FMCW（Frequency Modulated Continuous Wave）,即調頻的連續信號。在許多方面得到應用，比如生物雷達，車載雷達，無人機雷達等等方面都有FMCW波的應用,目前的商業化的雷達模塊大多使用的該原理來實現雷達的測距，測速。
1 信號的模型
一般而言我們使用Chirp信號。下圖為一個典型的Chirp信號的模型，從時域波看，其波形時一個頻率隨時間線性變換的波形。設線性調制波的波形的是鋸齒波。則下圖為典型的Chirp信號在時域和頻域的圖形如圖所示。所以可以發射信號的公式(1)：
\[S_t(t) = Acos[2\pi(f_0+S*t)t+\phi_0]\tag1 \]
其中\(S\)為鋸齒波的斜率，值為信號的調頻的帶寬除於調制的周期\(\frac{B}{T_c}\)，所以式子(1)的相位可以寫為以下的形式(2):
\[p_(t) = {2\pi[(f_0+\frac{B}{2})t+\frac{1}{2T}Bt^2]+\phi_0},t\in[0,T_c]\tag2 \]
圖1 chirp信號的時域圖和f-t圖
補充以下簡單的數學知識，相位的導數是頻率，下邊的公式(3)
\[f = \frac{\partial\phi(t)}{2\pi\partial t}\tag3 \]
2 靜止情況測距
設靜止的目標距離雷達的距離為\(R\)，電磁波在空氣中傳輸速度為c，則接受的信號接受機接受到的信號比發射的信號延遲\(\tau = \frac{2R}{c}\),所以理想中接受機的目標回波信號如為式(4):
\[S_r(t) = KAcos(2\pi[(f_0+\frac{B}{2})(t-\tau)+\frac{1}{2T}B(t-\tau)^2]+\phi_0)\tag4 \]
將接收到信號\(S_r(t)和S_t(t)\)進行混頻處理，處理的簡單圖如圖所示。對於當個目標得到的頻率圖如圖2所示，
圖2 回波信號和發射信號
圖中黑色的虛線便是中頻信號的頻率，這個時候很明顯的看出發射信號和單目標的回波信號的頻率差為一個單頻信號由公式（4）得到接收回波信號的相位表達式子(5): $$ p_r=2\pi[(f_0+\frac{B}{2})(t-\tau)+\frac{1}{2T}B(t-\tau)^2]+\phi_0\tag5 $$ 則中頻信號的相位公式(6)為： $$ \begin{align} p_m(t) &= p_s(t) - p_r(t)\ &=2\pi \frac{B}{T_c} \frac{2R}{c}t \tag6 \end{align}
通過這個式子可以知道中頻的頻率為\(f_{IF} = 2\pi \frac{B}{T_c} \frac{2R}{c}\)，所以在雷達系統中可以將中頻使用ADC變成數字信號后使用FFT測量頻率\(f_{IF}\)，其他的參數可知來測量\(R\),顯然距離公式R為(7):
\[R=\frac{_{f_{IF}T_c c}}{2\pi B}\tag 7 \]
同理該原理可以推到多目標的情況，當目標多於單個時候，計算得到的FFT的頻率譜存在多個峰值，如圖3所示
圖3 多目標頻域示意圖
### 3 運動情況下測速
設在電磁波的覆蓋區域中，某一目標在\(t_0\)時刻距離發射天線為\(R_0\),以徑向\(v\)遠離天線（以遠離天線為正方向），那么接受到的目標的回波信號公式如（4）所示，但是\(\tau\)有所改變，\(\tau = \frac{2R(t)}{c} = \frac{2(R_0+vt)}{c}\)為信號的延時，這個時候通過混頻后得到中頻信號的相位如（8）：
\[\begin{align}\notag p_m(t) &= p_s(t) - p_r(t)\\ &=2\pi \{{[\frac{2}{c}(f_0+\frac{B}{2})v-\frac{4BR_0v}{Tc^2}+\frac{2BR_0}{Tc}]t +(\frac{2Bv}{Tc}-\frac{2Bv^2}{Tc^2})t^2+\frac{2R_0}{c}(f_0+\frac{B}{2})-\frac{2BR_0}{Tc^2}}\}\tag8 \end{align} \]
很顯然對於運動的信號的中頻信號依然是一個線性調頻信號，所以信號的參數帶寬\(B_m\)，載頻\(f_m\)，初相\(\phi_m\)
\[\begin{align}\notag B_m &= \frac{4Bv}{c}-\frac{4Bv^2}{c^2}\tag9 \\ f_m& = \frac{2BR_0}{Tc}+\frac{2vf_0}{c}+\frac{Bv}{c}-\frac{4BR_0v}{Tc^2}+\frac{2Bv^2}{c^2}\notag \\ &\approx\frac{2BR_0}{Tc}+\frac{2vf_0}{c}\tag{10}\\ \phi_m &=2\pi[\frac{2R_0}{c}(f_0+\frac{B}{2})-\frac{2BR_0}{Tc^2}]\tag{11} \end{align} \]
所以運動下的回波信號的中頻信號依然可以寫成（12）：
\[r_m(t) = A_mcos\{{2\pi[(f_m+\frac{B_m}{2})t+\frac{1}{2T}B_mt^2]+\phi_m}\} \tag{12} \]
寫成復指數的形式（13）：
\[r_m(t) = A_m e^{j\phi_m}.e^{[{j2\pi(f_m+\frac{B_m}{2})t+\frac{\pi}{T}B_mt^2}]} \tag{13} \]
這個時候可以得到運動信號的中頻信號，從（9）~(11)式子中可以顯然看出帶寬\(B_m\)，載頻\(f_m\)，初相\(\phi_m\)都和目標的\(v\)存在聯系。現在對其采樣從模擬信號轉化到數字信號來進入數字芯片進行處理，得到距離和速度的信息。設我們使用的ADC的采樣時間為\(T_s\)，得到離散化后的信號\(r[n]\)。並對其使用DFT計算(15):
\[\begin{align} r_m[n] &= A_m e^{j\phi_m}.e^{\{j2\pi[(f_m+\frac{B_m}{2})nT_s+\frac{\pi}{T}B_m(nT_s)^2]\}} \tag{14} \\ X[k]&= DFT(r[n]) = \sum_{n=0}^{N-1} r[k] e^{\frac{-j2\pi kn}{N}} \notag \\ &=A_m e^{j\phi_m}.\sum_{n=0}^{N-1}e^{\{j2\pi[(f_m+\frac{B_m}{2})nT_s+\frac{1}{2T}B_m(n^T_s)^2]-\frac{kn}{N}\}}\tag{15} \end{align} \]
\(f_m\)和速度\(v\)和\(R_0\)有關，但是在掃頻過程中，\(f_m\)的變化不大，所以不容易計算出目標的徑向速度，但是可以得到在掃頻周期，信號的包絡\(\chi_l[k]\)。
\[\begin{align} \chi_l[k]&=A_m e^{j\phi_m} \notag \\ &=A_me^{\{j2\pi[\frac{2R_0+VTl)}{c}(f_0+\frac{B}{2}) -\frac{2B(R_0+vlT)^2}{Tc^2}]\}} \ \ l=0,1,2...M \tag{16} \end{align} \]
通過數學計算，有興趣自己計算
\[\begin{align} f_v &= \frac{(f_0+\frac{B}{2})v}{c}-\frac{4BR_0v}{Tc^2}\notag\\ &\approx\frac{(f_0+\frac{B}{2})v}{c} \tag{17} \end{align} \]
這樣就可以得到速度和距離的信息，這個是基本的調頻連續波測速和測距的原理。
