康拓展開的原理與實現

1.動物園61節來啦

又到了一年一度的61兒童節，動物園里充滿了歡聲笑語。不僅有好吃的好喝的，還有各種好玩的活動。當然最重量級的就是小朋友們的節目表演啦。
馬老師也開始緊鑼密鼓的籌備節目。

馬老師平時熟讀《孫子兵法》，深知陣型的重要性，先讓同學們變換一下陣型。
馬老師的博學也派上了用場，迅速下發了指令，滿懷期待的看着同學們。

3秒后，同學們依然保持動能守恆，就是原地不動啦。

原來是小朋友們平時沒好好學習《孫子兵法》，根本聽不懂老師說的啥。

馬老師長嘆一聲，只好放棄。那就做簡單的全排列吧，這個你們肯定學過。

但正式表演的時候同學有很多，如果有20個同學，那馬老師怎么下發指令呢，總不能說“同學們，變換隊列為123456...20”。
馬老師陷入了沉思。。。

2.問題建模

能否找到一種簡單的方法來指定是哪一種排列呢，比如給每個排列隊形取一個名字，如“蘋果隊形，香蕉隊形...”，這樣也行，不過要想這么多名字也不容易。
要是能給每個不同的排列按順序編號就完美了。

這樣問題就轉化為：能否找一個編號與排列的一一映射，簡稱雙射。
即\(f(編號)=排列,f^{-1}(排列)=編號\)。

這就要說到一個著名的數學定理了，康托展開。

3.康托展開

康托展開是全排列與自然數的雙射，常用於空間壓縮。
本質是計算當前排列在所有由小到大全排列中的順序，因此可逆。

3.1 排列\(\rightarrow\)自然數

3.2 自然數\(\rightarrow\)排列

4.代碼實現

4.1 康托編碼

// 0-9的階乘
const int FAC[] = {1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320, 362880};

int cantor(int a[], int n) {
    int ans = 0;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        int lessThan = 0;
        for (int j = i + 1; j < n; ++j) {
            if (a[j] < a[i]) lessThan++;
        }
        ans += lessThan * FAC[n - i - 1];
    }
    return ans;
}

4.2 康托解碼

void decode(int ans[], int x, int n) {
    bool visit[9] = {false};
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        ans[i] = x / FAC[n - i - 1];
        int j, order = 0;
        for (j = 0; j < n; ++j) {
            if (!visit[j]) {
                if (ans[i] == order) break;
                order++;
            }
        }
        ans[i] = j + 1;
        visit[j] = true;
        x %= FAC[n - i - 1];
    }
}

例題poj1077

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