本章的主要內容，就是研究輸入信號的頻率的變化對放大器增益的影響，在開始正式研究之前，本小節還要介紹兩個工具，一個是歸一化單位，一個是伯德圖。
1. 歸一化單位
通常，輸入信號的頻率對一個放大電路增益的影響，典型如下圖所示：
圖10-2.01
從圖中可以看到，這是一個半對數坐標圖，其橫坐標（頻率）為對數坐標，縱坐標（電壓增益）為線性坐標。在圖中我們可以觀察到，在中頻范圍內（約 100Hz~100kHz），其電壓增益可達到最大值（圖中為150），在輸入信號低於100Hz或高於100kHz時，其電壓增益都會減小。
一般我們會比較關注電壓增益減小到其最大增益的0.707（即1/√2）時的左右兩個頻率點（圖中為fL和fH），因為從最原始的電路定義來看，當電壓值降為0.707倍時，根據電壓與功率的換算關系，輸出功率會減小到原來的1/2，當輸出功率降到原來的一半以下時，通常我們就認為這個電路已經不算正常工作了。
我們把在這兩個頻率點之間的頻率范圍，稱為：帶寬（bandwidth）。相應的fL和fH稱為：截止頻率（cutoff frequency）或拐點頻率（corner frequency）。
在很多情況下，我們在比較不同的放大電路的性能優劣的時候，僅僅關注它們的頻率帶寬，而並不太關注其真正的放大倍數（因為放大倍數通常可以通過配置不同的電阻來調節，而帶寬通常是由電路的設計結構或器件的性質決定，一般是無法調節的）。因此，人們在縱坐標上使用了歸一化（normalized）方法，將縱坐標的值表示為每個頻率點的實際增益與最大增益值的比值，這樣就完成了歸一化，縱坐標的最大值為1，且無量綱，如下圖所示：
圖10-2.02
通過歸一化以后，我們就可以比較不同放大電路之間的帶寬性能了。比如，通過比較下面的兩個放大電路的歸一化增益-頻率圖，我們可以明顯看出左圖放大器的頻率性能（帶寬）要好於右圖：
圖10-2.03
2. 伯德圖
若將縱坐標再作進一步變化，將縱坐標也變為分貝表示，就得到了所謂的伯德圖（Bode plot）。上面圖10-2.02的歸一化圖變成伯德圖后，如下圖所示：
圖10-2.04
在圖中，原來縱坐標為0.707的的值，現在變為了-3dB：
現在，縱坐標也變成了對數坐標，成為了“全對數坐標圖”。根據上一小節對於分貝的廣義定義，對於衰減到0.707倍的比值，人們一般直接說成衰減了3dB（或增益為-3dB）,而不再關注這個物理量本身的性質。-3dB是個重要的指標，后面會經常碰到。
你可能會覺得有些疑惑，歸一化單位圖用着也蠻好，為什么要再給自己增加麻煩，把縱坐標變為分貝表示呢？其實伯德圖的好處，在於它可以把上面看上去非線性的“增益-頻率”曲線圖，變成線性圖。我們將在下一小節實際使用一下伯德圖，分析一個最簡單的RC電路，你就明白伯德圖的好處了。
（1）RC電路基本參數
下圖是一個簡單的RC高通濾波電路，雖然不是放大電路，但我們可以將輸出電壓Vo與輸入電壓Vi的比值視為電壓增益，來分析其電壓增益與頻率的關系。（以下關於交流電壓電流的符號我們都用其相量符號表示）
圖10-2.05
當電路工作在中高頻時，電容C可視為短路，輸出Vo等於輸入Vi，其增益達到最大值，為1，即：
當電路工作在低頻時，電容C會對交流電造成阻礙，使得輸出Vo小於輸入Vi，根據電路原理中關於電容器的基本知識，其容抗的表達式為：
（注意：雖然容抗XC的單位也是歐姆，但其在相量數值上是個虛數。）
輸出電壓Vo的表達式為：
因此輸出電壓的幅值表達式為：
其實際增益Av為輸出電壓與輸入電壓幅值的比值，即：
從上式可以看出，當頻率f趨於0時，XC趨於無窮大，實際增益趨於0；當頻率f趨於無窮大時，XC趨於0，實際增益趨於1。
現在再來計算截止頻率fL：我們希望頻率為fL時，實際增益Av與理論上最大增益Avmax的比值為0.707：
上式可解得，當f為：
時，電壓幅值的歸一化增益為0.707。電壓幅值增益-頻率圖大致如下圖所示：
圖10-2.06
（2）使用伯德圖
好，現在來看如何利用伯德圖將上面的頻率圖線性化。前面我們已經得到電壓幅值的歸一化增益的表達式為：
將前面算得的fL稍微變化一下可得：
將這個 (1/2πC) 代入上式的歸一化增益，可得：
現在將這個電壓幅值的歸一化增益使用分貝表示，計算過程為：
當f遠大於截止頻率fL時，上式中的(fL/f)2項值會遠小於1，因此可被近似掉；而當f遠小於fL時，上式中的1可被近似掉；而因此電壓幅值的增益可寫成分段函數：
上面的分段函數若畫在伯德圖上，第一個式子的0dB就是一條與x軸重合的水平直線，比較簡單。關鍵是第2個式子，還要再化簡一番才能看出其線性：
上式中，前項-20lg(fL) 是一個常數，而后項在對數橫坐標的情況下，lg(f)可視為一個整體，即為x軸因子，因此上式在對數坐標圖上的純表達式可看作：
這個就是一個線性表達式了，只不過僅在“分貝-對數圖”上呈線性而已，如是將上面的分段函數畫在伯德圖上就如下圖所示：
圖10-2.07
其頻率f小於fL時，電壓幅值歸一化增益 Anorm近似為一條斜率k等於20、且通過橫坐標上fL點的直線；當頻率f大於fL時，。電壓幅值歸一化增益 Anorm近似為一條與x軸重合的水平直線。
根據我們前面小節關於“十倍程”用法的解釋，這條斜率為20的直線可以稱為：20dB/十倍頻程。在實際使用中，有時人們會嫌20這個系數太大了，寫起來不方便；對於同樣的斜率，有時會用一個更小的單位：/倍頻程（即：頻率增加1倍時，縱坐標的分貝變化數量）。“20dB/十倍頻程”約等同於“6dB/倍頻程”。換算方法如下：
當f2/f1=2時：
最后的問題是，這樣線性化以后，在f≫fL和f≪fL的情況下近似性是比較好的，但在f靠近fL的地方不太准，需要手工修正。於是我們再算幾個f比較靠近fL時的值：
然后將它們擬合到伯德圖上，於是真正的電壓幅值增益曲線就如下圖中的綠色曲線所示：
圖10-2.08
在理解了伯德圖是如何將曲線線性化后，我們以后在使用伯德圖時可以不僅僅局限於歸一化單位，只要縱坐標為任何比值（比如Vo/Vi），都可以將其在伯德圖上進行表示。
最后值得一提的是，這種線性近似化方法在以前沒有計算機的那個時代是很有用的（伯德最初是在1945年發表了這個伯德圖方法），它可以幫助人們大大減少計算量，方便對電路或系統進行分析。這種方法即便在今天也不算過時，需要很好地掌握，因為使用它可以迅速地把握住系統的主要特征。
不過，在如今這個計算機已經普及的時代，繪制精確的增益圖或響應圖也不是什么難事了，比如使用Python的SciPy和Matplotlib庫，可以快速地繪制出精准的伯德圖和其他各種曲線，而且這么好的軟件居然還是免費的。推薦學習一下，不負這個時代的好時光。
（3）相位分析
伯德圖一般只能將增益幅值線性化，對於相位響應沒法線性化，只能老老實實算出若干個典型值，然后在圖上將這些點擬合成一條曲線。我們這里就演示一下如何繪制上面的RC電路的相位響應對數圖。
重寫上面的電壓增益的原始表達式如下：
其相位響應θ的表達式為：
當f≪fL時：
當f≫fL時：
再計算幾個典型頻率時的值：
根據這幾個點位的相位值，我們可以擬合出一條大致的相位響應曲線，如下圖所示：
圖10-2.09
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