第三章-不定積分

1. 原函數與不定積分的概念
   1. 定義1: 若在區間I上定義的兩個函數F(x)及f(x)滿足, F'(x) = f(x)或dF(x) = f(x)dx, 則稱F(x)為f(x)在區間I上的一個原函數
      1. 如: sinx的原函數有: -cosx, -cosx+3, ...
   2. 定理1: 若函數f(x)在區間I上連續, 則f(x)在I上存在原函數
   3. 定理2: 若F(x)時f(x)的一個原函數, 則f(x)的所有原函數為F(x)+C(C為任意常數)
   4. 定義2: f(x)在區間I上的原函數全體稱為f(x)在I上的不定積分, 記作∫f(x)dx, 其中
      1. ∫---積分號       f(x)---被積函數
      2. x---積分變量    f(x)dx---被積表達式
      3. 若F'(x) = f(x),則∫f(x)dx = F(x) + C (C為任意常數, C稱為積分常數, 不可以丟掉)
2. 基本積分表
   1. ∫kdx = kx +C  (k為常數)
   2. ∫x^udx = 1/u+1x^u+1 + C (u≠-1)
   3. ∫dx/1+x² = arctanx + C
   4. ∫dx/(1-x²)^1/2 = arcsinx + C
      
   5. ∫cosxdx = sinx + C
   6. ∫sinxdx = -cosx + C
   7. ∫dx/cos²x = ∫sec²xdx = tanx + C
   8. ∫dx/sin²x = ∫csc²xdx = -cotx + C
   9. ∫secxtanxdx = secx + C
   10. ∫csccotxdx = -cscx + C
   11. ∫e^xdx = e^x + C
   12. ∫a^xdx = a^x/lna + C
   13. -e^-lnx = -1/x
3. 不定積分的性質
   1. ∫kf(x)dx = k∫f(x)dx (k≠0)
   2. ∫[f(x)±g(x)]dx = ∫f(x)dx±∫g(x)dx
4. 換元積分法
   1. 第一類換元法
      1. 定理1: 設f(u)有原函數, u=Φ(x)可導, 則有換元公式
         1. ∫f[Φ(x)]Φ'(x)dx = ∫f(u)du |_u=Φ(x)  即∫f[Φ(x)]Φ'(x)dx = ∫f(Φ(x))dΦ(x)   (也稱配元法, 湊微分法)
            
   2. 常用的幾種配元形式:
      1. ∫f(ax+b)dx = 1/a∫f(ax+b) d(ax+b)
      2. ∫f(xⁿ)x^n-1dx = 1/n∫f(xⁿ)dxⁿ
      3. ∫f(xn)1/xdx = 1/x∫f(xⁿ)1/xⁿdxⁿ
      4. ∫f(sinx)cosxdx = ∫f(sinx)dsinx
      5. ∫f(cosx)sinxdx = -∫f(cosx)dcosx
      6. ∫f(tanx)sec²xdx = ∫f(tanx)dtanx
      7. ∫f(e^x)e^xdx = ∫f(e^x)de^x
      8. ∫f(lnx)1/xdx = ∫f(lnx)dlnx
   3. 常用簡化技巧
      1. 分項積分: 利用積化和差;分式分項
         1. 1 = sin²x + cos²x
      2. 降低冪次: 利用倍角公式,
         1. cos²x = 1/2(1+cos2x)
         2. sin2x = 1/2(1-cos2x)
      3. 萬能湊冪法
         1. ∫f(xⁿ)x^n-1dx = 1/n∫f(xⁿ)dxn
         2. ∫f(xⁿ)1/xdx = 1/n∫f(xⁿ)1/xⁿdxⁿ
5. 定理2:
   1. 設x = Ψ(t)是單調可導函數, 且Ψ'(t)≠0, f[Ψ(t)Ψ'(t)]具有原函數, 則換元公式∫f(x)dx = ∫f[Ψ(t)]Ψ'(t)dt | t=Ψ^-1(x)
第二類換元法常見類型
1. ∫f(x, (a² -x²)^1/2)dx  令x= asint 或 x = acost
2. ∫f(x, (a²+x²)^1/2)dx  令x = atant 或 x = sht
3. ∫f(x, (x²-a²)^1/2)dx  令x=asect 或x = acht
4. ∫tanxdx = -ln| cosx | + C
5. ∫cotxdx = ln| sinx | + C
6. ∫secxdx = ln| secx + tanx | + C
7. ∫cscxdx = ln| cscx -cotx | + C
8. ∫1/(a² + x²) dx = (1/a)1/arctan(x/a) + C
9. ∫1/(x² - a²) dx = 1/(2a)ln| (x-a)/(x+a) | + C
10. ∫1/(a² -x²)^1/2 dx = arcsin(x/a) + C
11. ∫1/(x² + a²)^1/2 dx = ln(x + (x²+a²)1/2) + C
12. ∫1/(x² -a²)^1/2 dx = ln| x + (x² -a²)1/2 | + C
6. 分部積分公式
   1. 由導數公式  (uv)' = u'v + uv', 積分得: uv = ∫u'vdx + ∫uv'dx    ===>   ∫uv'dx = uv - ∫u'vdx   或  ∫udv = uv - ∫vdu
   2. 選取u及v'(或dv)的原則:
      1. v容易求得
      2. ∫u'vdx比∫uv'dx容易計算
      3. 解題技巧: 選取u及v'的一般方法: 把被積函數視為兩個函數之和, 按"反對冪指三"(函數出現的順序, 即從左往右)的順序, 前者為u, 后者為v'