本文總結多元正態分布的條件分布與邊緣分布，證明不難，但都比較繁瑣，故不做詳細證明，有興趣可以參考Pattern Recognition and Machine Learningy一書。
1 正態分布的條件分布
對於聯合正態分布變量\(x\sim N(\mu,\Sigma)\)，定義精度矩陣（the precision matrix）為協方差矩陣的逆，即\(\Lambda\equiv \Sigma^{-1}\)，做分塊處理：
\[x=\begin{bmatrix} x_a \\ x_b \end{bmatrix}, \mu=\begin{bmatrix} \mu_a \\ \mu_b \end{bmatrix},\Sigma=\begin{bmatrix} \Sigma_{aa} &\Sigma_{ab} \\ \Sigma_{ba}& \Sigma_{bb} \end{bmatrix}, \Lambda=\begin{bmatrix} \Lambda_{aa} &\Lambda_{ab} \\ \Lambda_{ba}& \Lambda_{bb} \end{bmatrix} \]
那么，條件分布
\[p(x_a|x_b)=N(\mu_{a|b}, \Lambda^{-1}) \]
其中
\[\mu_{a|b}=\mu_a-\Lambda_{aa}^{-1} \Lambda_{ab}(x_b-\mu_b) \]
如何證明？證明的關鍵在於，對於正態分布的密度函數來說，它的指數項都可以寫作
\[-\dfrac{1}{2}(x-\mu)'\Sigma^{-1}(x-\mu)=-\dfrac{1}{2}x'\Sigma^{-1}x+x'\Sigma^{-1}\mu+C \]
其中\(C\)是常數項。
因此，只需將聯合分布的密度函數展開，再將其關於\(x_a\)的二次項、一次項整理出來，利用其系數即可得到\(\Sigma^{-1}\)和\(\mu\)的表達式。
2 正態分布的邊緣分布
按與上一節同樣的設定，\(x_a\)的邊緣分布為
\[p(x_a)=N(x_a| \mu_a, \Sigma_{aa}) \]
如何證明？只需將原來的密度函數對\(x_b\)積分即可，利用配方，積分並不困難。
或者，取\(A=[I,0]\)，則有\(Ax=x_a\sim N(A\mu,A\Sigma A')\)，展開后即可直接得到上面的結果。