計算機組成原理之計算篇

一、進制運算基本知識

1、進制運算的基礎

Ⅰ 進制的概述

進制的定義：進位制是一種計數方式，也稱進位計數法或位值計數法，

常見的進制：二進制、八進制、十進制、十六進制（因為計算機其實就是高低電平，0/1開關，所以計算機喜歡 2 進制，但是因為進制太小，表達一個大的數據的時候二進制表達就特別長，我們使用大進制位就可以解決這個問題，八進制、十六進制滿足2的n次方的要求，自然就成為計算機表示數據的首選了）；

 

Ⅱ 二進制運算的基礎

注意：指數就是從右往左從0開始第幾個數字的意思，前面的系數就是該位置對應的數值，底數就是當前的進制位數；

注意：這也是為什么 0.3 不能用計算機精確表示，而 0.5 可以的原因；

 

 

二、二進制數據的表示方法

1、有符號數和無符號數

使用一個符號位（約定數字位的最前面是符號位），0表示正數，1表示負數；

 

注意：這里如果用源碼表示法的話，那么就出現了兩個 0，即 +0 和 -0 ，例如只有兩位來表示的話，00 即 +0，10 即 -0，但是其實不管是 +0 還是 -0 其實都是0，這樣就存在歧義了，並且原碼表示法進行運算的時候非常復雜，特別是兩個操作數符號的時候；

1. 判斷兩個操作數絕對值的大小；
2. 使用絕對值大的數減去絕對值小的數；
3. 對應符號值，以絕對值大的為准；

 

於是引入了補碼和反碼來使不同操作數的運算更加簡單；

 

2、二進制的反碼表示法

• 正數的補碼和反碼都是自己的本身；
• 負數的反碼是將自己除過符號位以外取反；

 

3、二進制的補碼表示法

使用正數來代替負數的方法，使用加法來代替減法，從而消除減法；

• 正數的補碼和反碼都是自己的本身；
• 負數的補碼是將反碼+1；

 

 

規律總結：

• 負數的反碼等於原碼除符號位外按位取反；
• 負數的補碼等於反碼+1；

 

4、小數的二進制補碼表示

• 正小數的反碼和補碼都是自己；
• 負小數的補碼等於反碼+1；

三、二進制數據的計算

1、定點數與浮點數

• 小數點固定在某個位置的數稱為定點數

如果我們需要表示的數既不是純小數也不是純整數，那我們就需要乘以比例因子以滿足定點數保存格式（浮點數）；

• 小數點位置不固定的數稱為浮點數（比如 3.145625×10⁶ 也可以表示為 31456.25×10² 或者 3145.625×10³）；

 

㈠ 浮點數的表示方法

 

Ⅰ 浮點數的表示格式

尾數必須使用純小數，尾數可以為負數；

階碼的計算：左移一位階碼減一，右移階碼加一。

 

Ⅱ 浮點數的表示范圍

Ⅲ 浮點數的規格化

• 尾數規定使用純小數；
• 尾數最高位必須是1；（即必須是 0.1XXXXXX的形式）

上述階碼的算法是：x左移了三位，即階碼為 -3 ，3的二進制即為 11 ；

 

2、定點數的加減法運算

例1：A = -110010，B = 001101，求A+B ;

               A[補] = 1,001110

              B[補] = B[原] = 0,001101

              A[補] + B[補] = (A+B)[補] = 1,011011

              那么 A+B = (A+B)[補]-1的結果取反：

              A+B = 1，100101 = - 100101

 

例2：A = -0.1010010，B = 0.0110100，求 A+B ;

              A[補] = 1,1.0101110

              B[補] = B[原] = 0,0.0110100

 

              1,1.0101110

              0,0.0110100

              -----------------

               1,1.1100010

              A[補] + B[補] = (A+B)[補] = 1,1.1100010

              注意：十進制的時候借一位+10，二進制借一位+2

              (A+B)[反] = (A+B)[補]-1 = 1,1.1100001

              (A+B)[原] = (A+B)[反]取反 = 1，0.0011110 = -0.0011110

 

 

 

 

 

 

例3：A = -10010000，B = -01010000，求 A+B ；

              A[補] = 1,01110000

              B[補] = 1,10110000

              1,01110000

              1,10110000

              --------------

              11,00100000 //去掉多出來的符號位進位 1,00100000

              A[補] + B[補] = (A+B)[補] = 1,00100000

              (A+B)[反] = 1,00011111

              (A+B)[原] = 1,11100000 = -11100000

 

 

 

 

 

例4：A = -10010000，B = -11010000，求 A+B；

              A[補] = 1,01110000

              B[補] = 1,00110000

              1,01110000

              1,00110000

              ------------------

              10,10100000 //去掉多出來的符號位進位 0，10100000

              A[補] + B[補] = (A+B)[補] = 0,10100000

              A+B = 10100000

              注意：A = -144，B = -208，但是 A+B = 160，這就是溢出，結果無效

 

判斷溢出

• 雙符號位判斷法：單符號位表示變成雙符號位：0 ==> 00,1 ==> 11,雙符號位產生的進位丟失，結果的雙符號位不同則表示溢出；

使用雙符號位判斷溢出（例4）：

11,01110000

11,00110000

------------------

110,10100000 //去掉多出來的符號位進位，10，10100000，結果符號位不同，有溢出

 

 

例5：A = 11001000，B = -00110100，求 A-B；

A[補] = 0,11001000

B[補] = 1,11001100

(-B）[補] = 0,00110100

A[補] - B[補] = A+(-B)[補]

00,11001000

00,00110100

----------------

00,11111100

A+(-B)[補] = 0,11111100

A - B = 111111100

 

注意：-B[補]等於B[補]連同符號位按位取反，末位+1；

 

3、浮點數的加減法運算

步驟：

1. 對階：使得兩個浮點數的階碼一致，使得尾數可以進行運算（浮點數尾數運算簡單，浮點數的位數實際小數位與階碼有關，所以階碼按小階看齊大階的原則對其，以便於運算）；
2. 尾數求和：使用補碼進行運算，減法轉化為加法運算；
3. 尾數規格化：一般情況下都需要左移，但是當雙符號位不一致的時候就需要右移（定點運算的溢出情況），右移的話則需要進行舍入操作；

4. 舍入：0舍1入法（二進制的四舍五入法，比如S[補] = 10.10110111,s[補] = 11.01011011(1)（右移一位，有階碼的時候階碼要+1）,我們右移之后把后面那個1擠沒了，所以需要在這個結果上進行+1操作，即得到 11.01011100，0舍1入的意思就是后面被擠掉的那個數字是0還是1，是0就不管了，是1還要+1的），這種方法可以大大提高浮點數結果的精度，但是這樣也會存在溢出問題 ；
5. 溢出判斷：例如s[補] = 01.11111111，這時候需要右移，得到 s[補] = 00.11111111(1)，這個時候擠掉一個1，需要進行+1操作，得到 s[補] = 01.00000000，這個時候得到的結果雙符號位還是不一致的，還需要右移，得到s[補] = 00.10000000(0)，擠掉一個0，不用管，這個時候兩次右移，階碼需要+2；

x = 0.1101 × 2⁰¹，y = (-0.1010)×2¹¹

對階：x = 0.001101×2¹¹,y = (-0.1010)×2¹¹，

          因為尾數值要對其，所以舍棄掉多余的尾數部分，x = 0.0011×2¹¹

尾數求和：x[原] = 00.0011,x[補] = 00.0011;

        y[原] = 11.1010,y[補] = 11.0110;

        尾數和S = (x+y)[補] = 11.1001;

尾數的規格化：S不滿足規格化，需要左移1位：S = 11.0010

      左移之后，階碼需要-1，即由 11（3）變為 10（2）

      x+y[原] = -0.1110×2¹⁰

 

溢出判斷

浮點數運算主要通過階碼的雙符號位判斷是否溢出，如果規格化之后，階碼雙符號位不一致，則認為是溢出

 

4、浮點數的乘除法運算

• 乘法：階碼相加，尾數求積；
• 除法：階碼相減，尾數求商；

例1：x = 0.11010011 × 2¹¹⁰¹，y = 0.11101110 × 2⁰⁰⁰¹，假設階碼4位，尾數8位，求 x×y

             x×y = (0.11010011 × 0.11101110) × 2¹¹¹⁰

                   = 0.11000100 × 2¹¹¹⁰

 

 

 

拉拉