计算机组成原理之计算篇

一、进制运算基本知识

1、进制运算的基础

Ⅰ 进制的概述

进制的定义：进位制是一种计数方式，也称进位计数法或位值计数法，

常见的进制：二进制、八进制、十进制、十六进制（因为计算机其实就是高低电平，0/1开关，所以计算机喜欢 2 进制，但是因为进制太小，表达一个大的数据的时候二进制表达就特别长，我们使用大进制位就可以解决这个问题，八进制、十六进制满足2的n次方的要求，自然就成为计算机表示数据的首选了）；

 

Ⅱ 二进制运算的基础

注意：指数就是从右往左从0开始第几个数字的意思，前面的系数就是该位置对应的数值，底数就是当前的进制位数；

注意：这也是为什么 0.3 不能用计算机精确表示，而 0.5 可以的原因；

 

 

二、二进制数据的表示方法

1、有符号数和无符号数

使用一个符号位（约定数字位的最前面是符号位），0表示正数，1表示负数；

 

注意：这里如果用源码表示法的话，那么就出现了两个 0，即 +0 和 -0 ，例如只有两位来表示的话，00 即 +0，10 即 -0，但是其实不管是 +0 还是 -0 其实都是0，这样就存在歧义了，并且原码表示法进行运算的时候非常复杂，特别是两个操作数符号的时候；

1. 判断两个操作数绝对值的大小；
2. 使用绝对值大的数减去绝对值小的数；
3. 对应符号值，以绝对值大的为准；

 

于是引入了补码和反码来使不同操作数的运算更加简单；

 

2、二进制的反码表示法

• 正数的补码和反码都是自己的本身；
• 负数的反码是将自己除过符号位以外取反；

 

3、二进制的补码表示法

使用正数来代替负数的方法，使用加法来代替减法，从而消除减法；

• 正数的补码和反码都是自己的本身；
• 负数的补码是将反码+1；

 

 

规律总结：

• 负数的反码等于原码除符号位外按位取反；
• 负数的补码等于反码+1；

 

4、小数的二进制补码表示

• 正小数的反码和补码都是自己；
• 负小数的补码等于反码+1；

三、二进制数据的计算

1、定点数与浮点数

• 小数点固定在某个位置的数称为定点数

如果我们需要表示的数既不是纯小数也不是纯整数，那我们就需要乘以比例因子以满足定点数保存格式（浮点数）；

• 小数点位置不固定的数称为浮点数（比如 3.145625×10⁶ 也可以表示为 31456.25×10² 或者 3145.625×10³）；

 

㈠ 浮点数的表示方法

 

Ⅰ 浮点数的表示格式

尾数必须使用纯小数，尾数可以为负数；

阶码的计算：左移一位阶码减一，右移阶码加一。

 

Ⅱ 浮点数的表示范围

Ⅲ 浮点数的规格化

• 尾数规定使用纯小数；
• 尾数最高位必须是1；（即必须是 0.1XXXXXX的形式）

上述阶码的算法是：x左移了三位，即阶码为 -3 ，3的二进制即为 11 ；

 

2、定点数的加减法运算

例1：A = -110010，B = 001101，求A+B ;

               A[补] = 1,001110

              B[补] = B[原] = 0,001101

              A[补] + B[补] = (A+B)[补] = 1,011011

              那么 A+B = (A+B)[补]-1的结果取反：

              A+B = 1，100101 = - 100101

 

例2：A = -0.1010010，B = 0.0110100，求 A+B ;

              A[补] = 1,1.0101110

              B[补] = B[原] = 0,0.0110100

 

              1,1.0101110

              0,0.0110100

              -----------------

               1,1.1100010

              A[补] + B[补] = (A+B)[补] = 1,1.1100010

              注意：十进制的时候借一位+10，二进制借一位+2

              (A+B)[反] = (A+B)[补]-1 = 1,1.1100001

              (A+B)[原] = (A+B)[反]取反 = 1，0.0011110 = -0.0011110

 

 

 

 

 

 

例3：A = -10010000，B = -01010000，求 A+B ；

              A[补] = 1,01110000

              B[补] = 1,10110000

              1,01110000

              1,10110000

              --------------

              11,00100000 //去掉多出来的符号位进位 1,00100000

              A[补] + B[补] = (A+B)[补] = 1,00100000

              (A+B)[反] = 1,00011111

              (A+B)[原] = 1,11100000 = -11100000

 

 

 

 

 

例4：A = -10010000，B = -11010000，求 A+B；

              A[补] = 1,01110000

              B[补] = 1,00110000

              1,01110000

              1,00110000

              ------------------

              10,10100000 //去掉多出来的符号位进位 0，10100000

              A[补] + B[补] = (A+B)[补] = 0,10100000

              A+B = 10100000

              注意：A = -144，B = -208，但是 A+B = 160，这就是溢出，结果无效

 

判断溢出

• 双符号位判断法：单符号位表示变成双符号位：0 ==> 00,1 ==> 11,双符号位产生的进位丢失，结果的双符号位不同则表示溢出；

使用双符号位判断溢出（例4）：

11,01110000

11,00110000

------------------

110,10100000 //去掉多出来的符号位进位，10，10100000，结果符号位不同，有溢出

 

 

例5：A = 11001000，B = -00110100，求 A-B；

A[补] = 0,11001000

B[补] = 1,11001100

(-B）[补] = 0,00110100

A[补] - B[补] = A+(-B)[补]

00,11001000

00,00110100

----------------

00,11111100

A+(-B)[补] = 0,11111100

A - B = 111111100

 

注意：-B[补]等于B[补]连同符号位按位取反，末位+1；

 

3、浮点数的加减法运算

步骤：

1. 对阶：使得两个浮点数的阶码一致，使得尾数可以进行运算（浮点数尾数运算简单，浮点数的位数实际小数位与阶码有关，所以阶码按小阶看齐大阶的原则对其，以便于运算）；
2. 尾数求和：使用补码进行运算，减法转化为加法运算；
3. 尾数规格化：一般情况下都需要左移，但是当双符号位不一致的时候就需要右移（定点运算的溢出情况），右移的话则需要进行舍入操作；

4. 舍入：0舍1入法（二进制的四舍五入法，比如S[补] = 10.10110111,s[补] = 11.01011011(1)（右移一位，有阶码的时候阶码要+1）,我们右移之后把后面那个1挤没了，所以需要在这个结果上进行+1操作，即得到 11.01011100，0舍1入的意思就是后面被挤掉的那个数字是0还是1，是0就不管了，是1还要+1的），这种方法可以大大提高浮点数结果的精度，但是这样也会存在溢出问题 ；
5. 溢出判断：例如s[补] = 01.11111111，这时候需要右移，得到 s[补] = 00.11111111(1)，这个时候挤掉一个1，需要进行+1操作，得到 s[补] = 01.00000000，这个时候得到的结果双符号位还是不一致的，还需要右移，得到s[补] = 00.10000000(0)，挤掉一个0，不用管，这个时候两次右移，阶码需要+2；

x = 0.1101 × 2⁰¹，y = (-0.1010)×2¹¹

对阶：x = 0.001101×2¹¹,y = (-0.1010)×2¹¹，

          因为尾数值要对其，所以舍弃掉多余的尾数部分，x = 0.0011×2¹¹

尾数求和：x[原] = 00.0011,x[补] = 00.0011;

        y[原] = 11.1010,y[补] = 11.0110;

        尾数和S = (x+y)[补] = 11.1001;

尾数的规格化：S不满足规格化，需要左移1位：S = 11.0010

      左移之后，阶码需要-1，即由 11（3）变为 10（2）

      x+y[原] = -0.1110×2¹⁰

 

溢出判断

浮点数运算主要通过阶码的双符号位判断是否溢出，如果规格化之后，阶码双符号位不一致，则认为是溢出

 

4、浮点数的乘除法运算

• 乘法：阶码相加，尾数求积；
• 除法：阶码相减，尾数求商；

例1：x = 0.11010011 × 2¹¹⁰¹，y = 0.11101110 × 2⁰⁰⁰¹，假设阶码4位，尾数8位，求 x×y

             x×y = (0.11010011 × 0.11101110) × 2¹¹¹⁰

                   = 0.11000100 × 2¹¹¹⁰

 

 

 

拉拉