自守數是指一個數的平方的尾數等於該數自身的自然數。例如：
52 = 25 252 = 625 762 = 5776 93762 = 87909376
求100000以內的自守數。
問題分析
根據自守數的定義，求解本題的關鍵是知道當前所求自然數的位數，以及該數平方的尾數與被乘數、乘數之間的關系。
算法設計
若采用“求出一個數的平方后再截取最后相應位數”的方法顯然是不可取的，因為計算機無法表示過大的整數。
分析手工方式下整數平方（乘法）的計算過程，以376為例：
本問題所關心的是積的最后三位。分析產生積的后三位的過程可以看出，在每一次的部分積中，並不是它的每一位都會對積的后三位產生影響。總結規律可以得到：在三位數乘法中，對積的后三位產生影響的部分積分別為：
✪ 第一個部分積中：被乘數最后三位×乘數的倒數第一位。
✪ 第二個部分積中：被乘數最后二位×乘數的倒數第二位。
✪ 第三個部分積中：被乘數最后一位×乘數的倒數第三位。
將以上的部分積的后三位求和后，截取后三位就是三位數乘積的后三位，這樣的規律可以推廣到同樣問題的不同位數乘積中。
分離給定數中的最后幾位
從一個兩位數（存在變量n中）開始分析，分離最低位個位n%10；對於三位數n，分離最后兩位n%100；對於四位數n，分離最后三位n%1000；...，由此可見，若分離出最后x位，只需要用原數對 10x 求余。
從第3部分所舉例子可以看出，對於第二個部分積“2632”來說其實應是“26320”， 因為對於乘數中的倒數第二位“7”來說，因其在十位，對應的權值為10，第二個部分積實質上為：376X70=26320。故求部分積的程序段為：
————————
int main () { //... while(k>0) { mul=( mul + ( number%(k*10) )*( number%b - nxuober%(b/10) ) )%a; /* (部分積+截取被乘數的后N位*截取乘數的第M位），%a再截取部分積*/ k /= 10; /*k為截取被乘數時的系數*/ b *= 10; } //... return 0; }
對於整個循環來說，變量k是由number的位數確定截取數字進行乘法時的系數。
第1次執行循環體時，被乘數的所有位數都影響到平方的尾數，因此第1個部分積=被乘數*乘數的最后一位，將部分積累加到變量mul上，再對a取余截取相應的尾數位數；
第2次執行循環體，影響平方尾數的是被乘數中除了最高位之外的數（所以k先除以10再參加運算），第2個部分積=被乘數*乘數的倒數第二位，( number%b - number%(b/l0) )用來求乘數中影響平方尾數的對應位上的數；第3次、第4次執行循環體的過程同上。
程序流程圖：
下面是完整的代碼：
#include<stdio.h> int main() { long mul, number, k, a, b; printf("It exists following automorphic nmbers small than 100000:\n"); for( number=0; number<100000; number++ ) { for( mul=number, k=1; (mul/=10)>0; k*=10 ); /*由number的位數確定截取數字進行乘法時的系數k*/ a = k * 10; /*a為截取部分積時的系數*/ mul = 0; /*積的最后n位*/ b = 10; /*b為截取乘數相應位時的系數*/ while(k>0) { mul=( mul + ( number%(k*10) )*( number%b - number%(b/10) ) )%a; /*(部分積+截取被乘數的后N位*截取乘數的第M位)，%a再截取部分積*/ k /= 10; /*k為截取被乘數時的系數*/ b *= 10; } if(number == mul) /*判定若為自守數則輸出*/ printf("%ld ", number); } printf("\n"); return 0; }
運行結果：
It exists following automorphic nmbers small than 100000:
0 1 5 6 25 76 376 625 9376 90625
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