矩陣及其算法

1. 矩陣介紹

2. 矩陣相加

3. 矩陣相乘

4. 矩陣轉置

 

  

1. 矩陣介紹

矩陣（matrix）是數字或字符的矩形網格（如 excel 表格），並具有加、減、乘等運算規則。

從數學的角度來看，對於 m x n 矩陣的形式，可以用計算機中的二維數組來表示。基本上，許多矩陣的運算與應用都可以使用計算機中的二維數組解決。

矩陣維度

我們用 (行數, 列數) 來描述矩陣的維度。

 

2. 矩陣相加

矩陣的相加運算較為簡單，前提是相加的兩個矩陣對應的行數與列數必須相等，而相加后矩陣的行數與列數也是相同的。

示例代碼

A = [[1,2,3], [1,2,3], [1,2,3]]
B = [[1,2,3], [1,2,3], [1,2,3]]
N = 3
# 用於存放相加結果的矩陣
C = [[None]*N for i in range(N)]

for i in range(N):
    for j in range(N):
        C[i][j] = A[i][j] + B[i][j]  # 矩陣C = 矩陣A + 矩陣B
print("矩陣A和矩陣B的相加結果：")
for i in range(N):
    for j in range(N):
        print(C[i][j], end="\t")
    print()

執行結果：

矩陣A和矩陣B的相加結果：
2       4       6
2       4       6
2       4       6

 

3. 矩陣相乘

並不是所有的矩陣都能進行乘法運算的。 並且，對輸出矩陣的維度也存在要求。

矩陣一的列數必須等於矩陣二的行數，如 M×N 矩陣和 N×K 矩陣相乘的結果是 M×K 矩陣（新矩陣取矩陣一的行和矩陣二的列）。

實現原理

矩陣乘法依賴於點積與行列元素的各種組合。 以下圖為例，矩陣 C 中的每個元素都是矩陣 A 的行與矩陣 B 的列的點積。

操作 a1·b1 表示我們取矩陣 A 中第 1 行 (1,7) 和矩陣 B 中第 1 列 (3,5) 的點積：

即：

為什么矩陣乘法以這種方式工作？

矩陣的乘法運算非常有用，但背后並沒有太深奧的數學規律，之所以數學家發明了這種運算，完全是因為它簡化了以前乏味的計算。這是一個人為的產物，但卻非常有效。

示例代碼

# 矩陣相乘函數
def matrix_multiply(matrix1, matrix2):
        # 初始化所需的維度
    m = len(matrix1)  # matrix1的行數
    n = len(matrix1[0])  # matrix1的列數 即matrix2的行數
    p = len(matrix2[0])  # matrix2的列數

    # 初始化結果矩陣 = matrix1的行數 x matrix2的列數
    result_matrix = [[None]*p for i in range(m)]

    for row_no in range(m):
        for col_no in range(p):
            tmp = 0
            for k in range(n):
                tmp = tmp + matrix1[row_no][k] * matrix2[k][col_no]
            result_matrix[row_no][col_no] = tmp
    return result_matrix


A = [[1,2,3], [4,5,6], [7,8,9]]
B = [[1,2], [3,4], [5,6]]

result_matrix = matrix_multiply(A, B)

print("矩陣相乘結果：")
for i in range(len(result_matrix)):
    for j in range(len(result_matrix[0])):
        print(result_matrix[i][j], end="\t")
    print()

執行結果：

矩陣相乘結果：
22      28
49      64
76      100

 

4. 矩陣轉置

轉置矩陣（A^T）就是把原矩陣的行坐標元素與列坐標元素相互調換。假設 A^T 為 A 的轉置矩陣，則有 A^T[j, i] = A[i, j]。

轉置矩陣有兩個步驟：

1. 矩陣旋轉 90°
2. 反轉每行元素的順序（例如 [a b c] 變為 [c b a]）

例如，將矩陣 M 轉置為 T：

示例代碼

# 轉置矩陣函數
def matrix_t(matrix):
    result_matrix = [[None]*len(matrix) for i in range(len(matrix[0]))]
    for i in range(len(matrix)):
        for j in range(len(matrix[0])):
            result_matrix[j][i] = matrix[i][j]
    return result_matrix


A = [[1,2], [3,4], [5,6]]

result_matrix = matrix_t(A)
print("矩陣轉置結果：")
for i in result_matrix:
    for j in i:
        print(j, end="\t")
    print()