矩陣(神奇算法)

　　昨晚學長教了我們這樣一個神奇的算法---矩陣快速冪，矩陣快速冪在遞推優化上相當神奇，並且效率很高。

　一、　先舉這樣一個例子。斐波那契數列大家都知道的吧。f[n]=f[n-1]+f[n+2](n=10⁸),求f[n];

　　這種題目，要是用遞歸做下去肯定超時。但是用矩陣就很容易解決。

　　 f[n]           *        0 1　　　　　　 =　　　f[n+1]

　　 f[n+1]　...A　  　　     1 1　...C　　　　　　  f[n+2]　...B　　　A矩陣*C矩陣得到B矩陣。C矩陣是推出來的；主要的核心就是推出一個矩陣與A得到B矩陣。(即我知道當前狀態和下一狀態，我就要求出中間的媒介，這樣的話就是可以無限知道下下狀態，下下下狀態....的值~~)我們知道f[1]=1,f[2]=1;  A*Cⁿ=B,接着對Cⁿ快速冪取模就OK了！

　　略懂一點之后，轉變一下。

　　二、有a,b,c,d四個城市，如同所示。求從a->d在正好n步的條件下走到。n很大很大。求有多少種方法。　

　　這個的初始的是走0步到達下一個位置的矩陣A=E（單位矩陣），然后很明顯的中介矩陣就是　 a b c d

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　a 0 1 1 0  

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  b 0 0 1 1

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  c 1 1 0 1

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  d 0 1 1 0....C 然后A*C就可以得到走兩步到一個地方的種數。其中"1"表示a->b有一種方法。

　　三、依舊是有a，b，c，d四個城市，如圖所示。我現在要從a到d在正好n步的條件下走到，加一個要求就是路程最短。求最短的路程。和上一個類似，這里就不進行詳解了0.0

 

學長還講了區域賽里的幾個題目，一時半會說不清楚，從早上總結到現在，該去吃飯了==總結一下吧

矩陣快速冪主要的就是要寫出那三個矩陣來解決問題，雖然現在講的只是一種思想，里面摻雜一些動態規划的問題，不過是很實用的，可以很快速的來解決n值特別大，或者類似的組合問題。