循環冗余校驗
CRC即循環冗余校驗碼（Cyclic Redundancy Check）：是數據通信領域中最常用的一種查錯校驗碼，其特征是信息字段和校驗字段的長度可以任意選定。循環冗余檢查（CRC）是一種數據傳輸檢錯功能，對數據進行多項式計算，並將得到的結果附在幀的后面，接收設備也執行類似的算法，以保證數據傳輸的正確性和完整性。
參數
每種CRC校驗算法有不同的參數值，需要具體對待。
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NAME：參數模型名稱。
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WIDTH：寬度，即CRC比特數。 通常有8bit，16bit，24bit,32bit等。
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POLY：生成項的簡寫，以16進制表示。例如：CRC-32即是0x04C11DB7，忽略了最高位的"1"，即完整的生成項是0x104C11DB7。
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INIT：這是算法開始時寄存器（crc）的初始化預置值，十六進制表示。 Init 的位數和Poly的位數相同，它的值為全0或者全F，當全為0時，在算法開始前對數據(這個數據是根據RefIn的值得到的)后面補上CRC位數個0后就可以進行后續計算了。當全為1時，表示在算法開始前對數據的前CRC位數（高位）先和對應位數個1進行異或（即：前CRC位數的值按位取反），再在后面補上CRC位數個0，才進行后續計算。
例：INIT為FFFF，原數據為1101 1010 0100 1010 1001 0001 ，那么先異或FFFF ^ 1101 1010 0100 1010 1001 0001得到0010 0101 1011 0101 1001 0001 后面添加16個零進行計算0010 0101 1011 0101 1001 0001 0000 0000 0000 0000。
INIT為0000，直接在數據后添加16個零計算。
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REFIN：待測數據的每個字節是否按位反轉，True或False。注意是按字節反轉，例如：0001 1001 0010 1010得到的值是1001 1000 0101 0100。
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REFOUT：在計算后之后，異或輸出之前，整個數據是否按位反轉，True或False。例如：0001 1001 0010 1010得到的值是0101 0100 1001 1000。
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RefIn和Refout:它們要么全為False，要么全為True。
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XOROUT：計算結果與此參數異或后得到最終的CRC值，即計算后得到的值與XOROUT異或得到最終的值。例如計算后得到的值為0100 1000，XOROUT為1111 1111，那么最終的CRC碼為1011 0111。
模二運算
模2除法與算術除法類似，但每一位除的結果不影響其它位，即不向上一位借位，所以實際上就是異或。在循環冗余校驗碼（CRC）的計算中有應用到模2除法。
模2除法具有下列三個性質：
1、當最后余數的位數小於除數位數時，除法停止。
2、當被除數的位數小於除數位數時，則商數為0，被除數就是余數。
3、只要被除數或部分余數的位數與除數一樣多，且最高位為1，不管其他位是什么數，皆可商1。
算法原理
對數據對於原數據D進行計算后得到一個校驗碼F，得到一個新的數據T，接收方接收到數據后在進行校驗即可。
特別的，循環冗余校驗提供一個預先設定的(n-k+1)比特整數P，並且要求添加的(n-k)比特F滿足：
其中 \(T =2^{n-k}D + F\)
操作步驟：
- 發送方和接收方在通信前，約定好預設整數P。
- 發送方在發送前根據數據D確定滿足(1)式的F，生成CRC碼 T，T 即為數據位D與校驗位F的拼接，發送T。
- 接收方收到CRC碼 T，進行 result = T mod P 運算，當且僅當result = 0時接收方認為沒有差錯。
校驗碼求值
原始數據為10110011，序列P值為11001，求CRC校驗碼值
- 需要在原數據添加少一個的位數，P值為五位數，所以添加四個零。
- 對數據進行模二運算
得到校驗碼0100，發送數據為101100110100。
模二除法進行判斷是否為0，如果為0，表示數據正確。
證明過程
發送方在發送數據前需要確定填充的(n-k)比特F。一下所有的mod是指模二運算的余數。
CRC碼 T 需要滿足(1)式，即 \((2^{n-k}D+F)/P\) 結果為某一整數
對此表達式進行恆等變換，可得：
繼續對等式中\(2^{n-k}D / P\)進行恆等變換，將其整數部分 Q 分離，即 \(Q=(2^{n-k}D - R)/P\)，有
將(3)式帶入(2)式 得到：
由於采用無進位的二進制加法(等價於XOR操作)，由於是模二運算，所以當我們令 F = R 時，有R+F=0，所以\(R/P+F/P=0\):
當Q為整數時，\(T =(2^{n-k}D + F)\)滿足\(T mod P == 0\)。
故我們只要找到 F = R 使得(3)式中 Q 恆為整數即可。
由 \(Q=(2^{n-k}D - R)/P\)，可知z
（1）當 \(2^{n-k}DmodP ≠ 0\) 時
\(R=2^{n-k}D mod P\) 可使等式恆成立。
（2）當 \(2^{n-k}D modP == 0\) 時
$F = R = n * P（n ∈ Z） $可使等式恆成立。
\(R=2^{n-k}D modP\) 即為 n = 0 時情況。
綜上，令\(R=2^{n-k}D modP\) 時 可使等式 \(Q=(2^{n-k}D - R)/P\) 中Q恆為整數。
因此我們需要添加的幀檢驗序列F為：
多項式公式
對於除數P可以使用多項式表示，其中0不表示，1表示為\(X^y\)。
例如：\(G(x) = X^5+X4+1\) 可以表示為11001的除數。轉換成十六進制並去除最高位則是多項式公示的表示。
x8 + x5 + x4 + 1對應的P值為100110001對應的十六進制131，去除最高位為31.
| CRC算法名稱 | 多項式公式 | 寬度 | 多項式 | 初始值 | 結果異或值 | 輸入反轉 | 輸出反轉 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| CRC-4/ITU | x4 + x + 1 | 4 | 03 | 00 | 00 | true | true |
| CRC-5/EPC | x5 + x3 + 1 | 5 | 09 | 09 | 00 | false | false |
| CRC-5/ITU | x5 + x4 + x2 + 1 | 5 | 15 | 00 | 00 | true | true |
| CRC-5/USB | x5 + x2 + 1 | 5 | 05 | 1F | 1F | true | true |
| CRC-6/ITU | x6 + x + 1 | 6 | 03 | 00 | 00 | true | true |
| CRC-7/MMC | x7 + x3 + 1 | 7 | 09 | 00 | 00 | false | false |
| CRC-8 | x8 + x2 + x + 1 | 8 | 07 | 00 | 00 | false | false |
| CRC-8/ITU | x8 + x2 + x + 1 | 8 | 07 | 00 | 55 | false | false |
| CRC-8/ROHC | x8 + x2 + x + 1 | 8 | 07 | FF | 00 | true | true |
| CRC-8/MAXIM | x8 + x5 + x4 + 1 | 8 | 31 | 00 | 00 | true | true |
| CRC-16/IBM | x16 + x15 + x2 + 1 | 16 | 8005 | 0000 | 0000 | true | true |
| CRC-16/MAXIM | x16 + x15 + x2 + 1 | 16 | 8005 | 0000 | FFFF | true | true |
| CRC-16/USB | x16 + x15 + x2 + 1 | 16 | 8005 | FFFF | FFFF | true | true |
| CRC-16/MODBUS | x16 + x15 + x2 + 1 | 16 | 8005 | FFFF | 0000 | true | true |
| CRC-16/CCITT | x16 + x12 + x5 + 1 | 16 | 1021 | 0000 | 0000 | true | true |
| CRC-16/CCITT-FALSE | x16 + x12 + x5 + 1 | 16 | 1021 | FFFF | 0000 | false | false |
| CRC-16/X25 | x16 + x12 + x5 + 1 | 16 | 1021 | FFFF | FFFF | true | true |
| CRC-16/XMODEM | x16 + x12 + x5 + 1 | 16 | 1021 | 0000 | 0000 | false | false |
| CRC-16/DNP | x16 + x13 + x12 + x11 + x10 + x8 + x6 + x5 + x2 + 1 | 16 | 3D65 | 0000 | FFFF | true | true |
| CRC-32 | x32 + x26 + x23 + x22 + x16 + x12 + x11 + x10 + x8 + x7 + x5 + x4 + x2 + x + 1 | 32 | 04C11DB7 | FFFFFFFF | FFFFFFFF | true | true |
| CRC-32/MPEG-2 | x32 + x26 + x23 + x22 + x16 + x12 + x11 + x10 + x8 + x7 + x5 + x4 + x2 + x + 1 | 32 | 04C11DB7 | FFFFFFFF | 00000000 | false | false |
查表法
按位計算，每一位都需要計算，同時還需要判斷首位是否為0，這樣對於我們而言計算量還是挺大的，所以提供一種查表法，可以一次運算出多個位的模二運算的結果。
表中所列的索引是指前n位的數據大小。
已知\((aXORb)XORc = aXOR(bXORc)\)
由公式可得，任意多個數據之間的異或計算和計算順序無關。
對於任意定義的poly（除數）F，假設F有n位，那么我們取需要計算校驗值的前2(n-1)位，那么前2(n-1)位計算過程相當於異或運算，當高位為1為才可能進行計算。
對於XXXX XXXX可以使用XXXX 0000來進行計算出相對應的余數Z，然后再用余數Z和后四位XXXX來和Z進行異或運算，這樣或得到的數就是前n-1位的余數。
例如：一個poly為1 0011（\(X^4+X^1+1\)），那么求其數據表。
由於前n-1位和poly對表有關系。所以對於原始數據前4位的是0000B的時候，那么余數位0000B。這就是表中的第一個元素。
0001B的時候，0001 0000B/10011，那么得到結果為 0011B
0010B的時候，0010 0000B/10011，那么得到結果為 0110B
0011B的時候，0011 0000B/10011，那么得到結果為 0101B。
0100B的時候，0100 0000B/10011，那么得到結果為 1100B。
0101B的時候，0100 0000B/10011，那么得到結果為 1111B。
0110B的時候，0110 0000B/10011，那么得到結果為 1010B。
0111B的時候，0111 0000B/10011，那么得到結果為 1001B。
1000B的時候，1000 0000B/10011，那么得到結果為 1011B。
。。。
| 索引 | 原數據前4位 | 值 |
|---|---|---|
| 0 | 0000B | 0000B |
| 1 | 0001B | 0011B |
| 2 | 0010B | 0110B |
| 3 | 0011B | 0101B |
| 4 | 0100B | 1100B |
| 5 | 0101B | 1111B |
| 6 | 0110B | 1010B |
| 7 | 0111B | 1001B |
| 8 | 1000B | 1011B |
| 9 | 1001B | 1000B |
| 10 | 1010B | 1101B |
| 11 | 1011B | 1110B |
| 12 | 1100B | 0111B |
| 13 | 1101B | 0100B |
| 14 | 1110B | 0001B |
| 15 | 1111B | 0010B |
如何根據表來計算CRC校驗碼呢？
例如：有一個原始數據0011 1110，poly=10011，求校驗碼
已知10011的數據表，原始數據位0011 1110,左移四位，那么就是0011 1110 0000，計算前四位0011 由表可得位0101B，和1110B異或計算得1011B，由表可得1110B，1110^0000=1110，所以校驗碼位1110.
CRC16
CRC16有多種算法，以CRC-16/MODBUS為例：公式項為：\(x^{16} + x^{15} + x^2 + 1\)，初始值為FFFF，結果異或值為0000，輸入反轉和輸出反轉為true。假設原數據為AE 03 D3 F1 2D，求其CRC16的校驗碼。
-
輸入反轉
AE 03 D3 F1 2D => 1010 1110 0000 0011 1101 0011 1111 0001 0010 1101。
1010 1110 0000 0011 1101 0011 1111 0001 0010 1101 按字節反轉得：
0111 0101 1100 0000 1100 1011 1000 1111 1011 0100.
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和初始值異或
0111 0101 1100 0000 1100 1011 1000 1111 1011 0100 ^ 1111 1111 1111 1111 =
1000 1010 0011 1111 1100 1011 1000 1111 1011 0100 后位添加16個零
1000 1010 0011 1111 1100 1011 1000 1111 1011 0100 0000 0000 0000 0000
-
得到余數
\(x^{16} + x^{15} + x^2 + 1\) 得到poly值為 1 1000 0000 0000 0101
得到余數為 1001 1101 0001 0111
-
輸出反轉
1001 1101 0001 0111 反轉得到 1110 1000 1011 1001
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與結果異或值異或
異或值為0000，所以不變，所以CRC碼為E8B9
-
結果與網上一致
上述過程可以看作：
（1）預置1個16位的寄存器為十六進制FFFF（即全為1），稱此寄存器為CRC寄存器；
（2）把第一個8位二進制數據（既通訊信息幀的第一個字節）與16位的CRC寄存器的低
8位相異或，把結果放於CRC寄存器，高八位數據不變；
（3）把CRC寄存器的內容右移一位（朝低位）用0填補最高位，並檢查右移后的移出位；
（4）如果移出位為0：重復第3步（再次右移一位）；如果移出位為1，CRC寄存器與多
項式A001（1010 0000 0000 0001）進行異或；
（5）重復步驟3和4，直到右移8次，這樣整個8位數據全部進行了處理；
（6）重復步驟2到步驟5，進行通訊信息幀下一個字節的處理；
（7）將該通訊信息幀所有字節按上述步驟計算完成后，得到的16位CRC寄存器的高、低
字節進行交換；
（8）最后得到的CRC寄存器內容即為：CRC碼。
下圖為CRC16計算過程
CRC16/MODBUS碼表生成
碼表是在除法使用，如果每16位進行計算的話，會生成256*256的碼表，所以每次進行8位的計算，那么就只會生成256位的碼表。
由於輸入數據有反轉，所以我們在計算碼表的時候需要使用1 1000 0000 0000 0101翻轉進行模二運算，這樣相當於正常情況的鏡像操作。
由於REFIN=true，REFOUT=true，使用16位寄存器方法計算碼表：
或者使用原始的計算方法，但是在最終獲取后需要翻轉：
CRC16碼表生成代碼，使用寄存器法
圖例如下：
private static void calcCRC16(){
// poly翻轉，1010 0000 0000 0001
int refPoly = 0xA001;
String[] crc16 = new String[256];
// 計算每個碼表的元素
for(int i = 0 ; i < 256 ; i++){
// 寄存器數據
int temp = i | 0;
// 每個元素最多計算8次
for (int j = 0; j < 8; j++) {
boolean isOne = Integer.toBinaryString(temp).endsWith("1");
temp = temp >> 1;
if(isOne)
temp = temp ^ refPoly;
}
String hexStr = Integer.toHexString(temp);
int length = hexStr.length();
switch(length){
case 1:
hexStr = "000"+hexStr;
break;
case 2:
hexStr = "00"+hexStr;
break;
case 3:
hexStr = "0"+hexStr;
break;
default:
break;
}
crc16[i] = hexStr.toUpperCase();
}
System.out.println(Arrays.toString(crc16));
}
輸出結果：
[0000, C0C1, C181, 0140, C301, 03C0, 0280, C241, C601, 06C0, 0780, C741, 0500, C5C1, C481, 0440, CC01, 0CC0, 0D80, CD41, 0F00, CFC1, CE81, 0E40, 0A00, CAC1, CB81, 0B40, C901, 09C0, 0880, C841, D801, 18C0, 1980, D941, 1B00, DBC1, DA81, 1A40, 1E00, DEC1, DF81, 1F40, DD01, 1DC0, 1C80, DC41, 1400, D4C1, D581, 1540, D701, 17C0, 1680, D641, D201, 12C0, 1380, D341, 1100, D1C1, D081, 1040, F001, 30C0, 3180, F141, 3300, F3C1, F281, 3240, 3600, F6C1, F781, 3740, F501, 35C0, 3480, F441, 3C00, FCC1, FD81, 3D40, FF01, 3FC0, 3E80, FE41, FA01, 3AC0, 3B80, FB41, 3900, F9C1, F881, 3840, 2800, E8C1, E981, 2940, EB01, 2BC0, 2A80, EA41, EE01, 2EC0, 2F80, EF41, 2D00, EDC1, EC81, 2C40, E401, 24C0, 2580, E541, 2700, E7C1, E681, 2640, 2200, E2C1, E381, 2340, E101, 21C0, 2080, E041, A001, 60C0, 6180, A141, 6300, A3C1, A281, 6240, 6600, A6C1, A781, 6740, A501, 65C0, 6480, A441, 6C00, ACC1, AD81, 6D40, AF01, 6FC0, 6E80, AE41, AA01, 6AC0, 6B80, AB41, 6900, A9C1, A881, 6840, 7800, B8C1, B981, 7940, BB01, 7BC0, 7A80, BA41, BE01, 7EC0, 7F80, BF41, 7D00, BDC1, BC81, 7C40, B401, 74C0, 7580, B541, 7700, B7C1, B681, 7640, 7200, B2C1, B381, 7340, B101, 71C0, 7080, B041, 5000, 90C1, 9181, 5140, 9301, 53C0, 5280, 9241, 9601, 56C0, 5780, 9741, 5500, 95C1, 9481, 5440, 9C01, 5CC0, 5D80, 9D41, 5F00, 9FC1, 9E81, 5E40, 5A00, 9AC1, 9B81, 5B40, 9901, 59C0, 5880, 9841, 8801, 48C0, 4980, 8941, 4B00, 8BC1, 8A81, 4A40, 4E00, 8EC1, 8F81, 4F40, 8D01, 4DC0, 4C80, 8C41, 4400, 84C1, 8581, 4540, 8701, 47C0, 4680, 8641, 8201, 42C0, 4380, 8341, 4100, 81C1, 8081, 4040]
CRC16使用碼表計算校驗碼
圖例如下：
java代碼示例：
private static void testCRC16(){
int[] crc16 = {0x0000, 0xC0C1, 0xC181, 0x0140, 0xC301, 0x03C0, 0x0280, 0xC241,
0xC601, 0x06C0, 0x0780, 0xC741, 0x0500, 0xC5C1, 0xC481, 0x0440,
0xCC01, 0x0CC0, 0x0D80, 0xCD41, 0x0F00, 0xCFC1, 0xCE81, 0x0E40,
0x0A00, 0xCAC1, 0xCB81, 0x0B40, 0xC901, 0x09C0, 0x0880, 0xC841,
0xD801, 0x18C0, 0x1980, 0xD941, 0x1B00, 0xDBC1, 0xDA81, 0x1A40,
0x1E00, 0xDEC1, 0xDF81, 0x1F40, 0xDD01, 0x1DC0, 0x1C80, 0xDC41,
0x1400, 0xD4C1, 0xD581, 0x1540, 0xD701, 0x17C0, 0x1680, 0xD641,
0xD201, 0x12C0, 0x1380, 0xD341, 0x1100, 0xD1C1, 0xD081, 0x1040,
0xF001, 0x30C0, 0x3180, 0xF141, 0x3300, 0xF3C1, 0xF281, 0x3240,
0x3600, 0xF6C1, 0xF781, 0x3740, 0xF501, 0x35C0, 0x3480, 0xF441,
0x3C00, 0xFCC1, 0xFD81, 0x3D40, 0xFF01, 0x3FC0, 0x3E80, 0xFE41,
0xFA01, 0x3AC0, 0x3B80, 0xFB41, 0x3900, 0xF9C1, 0xF881, 0x3840,
0x2800, 0xE8C1, 0xE981, 0x2940, 0xEB01, 0x2BC0, 0x2A80, 0xEA41,
0xEE01, 0x2EC0, 0x2F80, 0xEF41, 0x2D00, 0xEDC1, 0xEC81, 0x2C40,
0xE401, 0x24C0, 0x2580, 0xE541, 0x2700, 0xE7C1, 0xE681, 0x2640,
0x2200, 0xE2C1, 0xE381, 0x2340, 0xE101, 0x21C0, 0x2080, 0xE041,
0xA001, 0x60C0, 0x6180, 0xA141, 0x6300, 0xA3C1, 0xA281, 0x6240,
0x6600, 0xA6C1, 0xA781, 0x6740, 0xA501, 0x65C0, 0x6480, 0xA441,
0x6C00, 0xACC1, 0xAD81, 0x6D40, 0xAF01, 0x6FC0, 0x6E80, 0xAE41,
0xAA01, 0x6AC0, 0x6B80, 0xAB41, 0x6900, 0xA9C1, 0xA881, 0x6840,
0x7800, 0xB8C1, 0xB981, 0x7940, 0xBB01, 0x7BC0, 0x7A80, 0xBA41,
0xBE01, 0x7EC0, 0x7F80, 0xBF41, 0x7D00, 0xBDC1, 0xBC81, 0x7C40,
0xB401, 0x74C0, 0x7580, 0xB541, 0x7700, 0xB7C1, 0xB681, 0x7640,
0x7200, 0xB2C1, 0xB381, 0x7340, 0xB101, 0x71C0, 0x7080, 0xB041,
0x5000, 0x90C1, 0x9181, 0x5140, 0x9301, 0x53C0, 0x5280, 0x9241,
0x9601, 0x56C0, 0x5780, 0x9741, 0x5500, 0x95C1, 0x9481, 0x5440,
0x9C01, 0x5CC0, 0x5D80, 0x9D41, 0x5F00, 0x9FC1, 0x9E81, 0x5E40,
0x5A00, 0x9AC1, 0x9B81, 0x5B40, 0x9901, 0x59C0, 0x5880, 0x9841,
0x8801, 0x48C0, 0x4980, 0x8941, 0x4B00, 0x8BC1, 0x8A81, 0x4A40,
0x4E00, 0x8EC1, 0x8F81, 0x4F40, 0x8D01, 0x4DC0, 0x4C80, 0x8C41,
0x4400, 0x84C1, 0x8581, 0x4540, 0x8701, 0x47C0, 0x4680, 0x8641,
0x8201, 0x42C0, 0x4380, 0x8341, 0x4100, 0x81C1, 0x8081, 0x4040};
// 原數據
String str = "05 05";
String[] data = str.split(" ");
int[] dataHex = new int[data.length];
for (int i = 0; i < data.length; i++) {
dataHex[i] = Integer.parseInt(data[i],16);
}
// 寄存器初始數據
int temp = 0xffff;
for (int i = 0; i < dataHex.length; i++) {
// 低八位異或
temp = dataHex[i] ^ temp;
// 根據低八位獲取角標，直接八位運算
int index = temp & 0x00ff;
// 將高八位和碼表中的值進行異或
temp = ((temp & 0xff00) >> 8) ^ crc16[index];
}
// 輸出crc校驗碼
String crc = Integer.toHexString(temp);
switch(crc.length()){
case 1:
crc = "000"+crc.toUpperCase();
break;
case 2:
crc = "00"+crc.toUpperCase();
break;
case 3:
crc = "0"+crc.toUpperCase();
break;
default:
crc = crc.toUpperCase();
break;
}
System.out.println(crc);
}
計算結果：
計算資源結果：
