在知乎上看到一個問題：
\[請問 199^{200} 與 200^{199}哪個更大？ \]
然后回想起高中時期做過類似的證明。
已知 \(e < a < b\) ，證： \(a^b > b^a\)
證明過程如下：
\(a^b > b^a\) 等價於 \(e^{b*lna} > e^{a*lnb}\)，即 \(b * lna > a * lnb\)
只需證明 \(b * lna > a*lnb\) 即說明 \(a^b > b^a\)。
令 \(f(x) = xlna - alnx\)，得 \(f(a) = 0\)，\(f^{'} = lna - \frac{a}{x}\) ，當 \(a < x < b\) 時，\(f^{'} > 0\)，故 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上單調遞增。
由題得 \(b > a\)，故 \(f(b) > f(a) = 0\)，即 \(f(b) > 0\)。
所以 \(blna - alnb > 0\)，即 \(a^b > b^a\)。
所以代入 \(a = 199,b = 200\)，可知 \(199^{200} > 200^{199}\)，所以不管\(a,b\) 取何值，只要滿足大於\(e\) 同樣成立。
證畢；