[LeetCode] 1025. Divisor Game 除數游戲

Alice and Bob take turns playing a game, with Alice starting first.

Initially, there is a number N on the chalkboard.  On each player's turn, that player makes a move consisting of:

• Choosing any x with 0 < x < N and N % x == 0.
• Replacing the number N on the chalkboard with N - x.

Also, if a player cannot make a move, they lose the game.

Return True if and only if Alice wins the game, assuming both players play optimally.

Example 1:

Input: 2
Output: true
Explanation: Alice chooses 1, and Bob has no more moves.

Example 2:

Input: 3
Output: false
Explanation: Alice chooses 1, Bob chooses 1, and Alice has no more moves.

Note:

1. 1 <= N <= 1000

這道題說是愛麗絲和鮑勃在玩一個除數游戲，這愛麗絲和鮑勃估計就相當於我們的小明和小紅，或者是李雷和韓梅梅之類的吧，經常出現啊。說是最初有一個數字N，每次每個人選一個小於N且能整除N的數字x，並將N替換為 N-x，依次進行，直到某個人沒法進行了，則算輸了。現在給個任意的N，且愛麗絲先走，問愛麗絲能否贏得游戲。先來分析一個下得到什么數字的時候會輸，答案是當N變成1的時候，此時沒法找到小於N的因子了，則輸掉游戲。博主看到題后的第一個反應就是用遞歸，因為調用遞歸得到的結果是對手的勝負，若遞歸返回 false，則說明當前選手贏了，反之則當前選手輸了。但是遞歸的方法不幸超時了，因為有大量的重復計算在里面，我們需要緩存這些中間變量，以避免重復計算，可以使用遞歸加記憶數組來做，也可以使用迭代的寫法，那么就變成動態規划 Dynamic Programming 了。這里的 dp 數組定義很直接，dp[i] 表示起始數字為i時愛麗絲是否會贏，大小為 N+1，更新時從2開始就行，因為0和1都是 false，從2更新到N，對於每個數字，都從1遍歷到該數字，找小於該數的因子，不能整除的直接跳過，能整除的看 dp[i-j] 的值，若為 false，則 dp[i] 更新為 true，並 break 掉即可，參見代碼如下：

解法一：

class Solution {
public:
    bool divisorGame(int N) {
        vector<bool> dp(N + 1);
        for (int i = 2; i <= N; ++i) {
            for (int j = 1; j < i; ++j) {
                if (i % j != 0) continue;
                if (!dp[i - j]) {
                    dp[i] = true;
                    break;
                }
            }
        }
        return dp[N];
    }
};

其實這道題的終極解法就一行，直接判斷奇偶即可，若N是偶數愛麗絲一定能贏，奇數一定會輸。博主大概講一下原因吧，前面提到過了，若某個人拿到了1，則表示輸了，所以當拿到2的時候，一定會贏，因為取個因數1，然后把剩下的1丟給對手就贏了。對於大於2的N，最后都會先減小到2，所以其實這個游戲就是個爭2的游戲。對於一個奇數N來說，小於N的因子x一定也是個奇數，則留給對手的 N-x 一定是個偶數。而對於偶數N來說，我們可以取1，然后變成一個奇數丟給對手，所以拿到偶數的人，將奇數丟給對手后，下一輪自己還會拿到偶數，這樣當N不斷減小后，最終一定會拿到2，所以會贏，參見代碼如下：

解法二：

class Solution {
public:
    bool divisorGame(int N) {
        return N % 2 == 0;
    }
};

Github 同步地址:

https://github.com/grandyang/leetcode/issues/1025

參考資料：

https://leetcode.com/problems/divisor-game/

https://leetcode.com/problems/divisor-game/discuss/274608/Simple-DP-Java-Solution

https://leetcode.com/problems/divisor-game/discuss/296784/Come-on-in-different-explanation-from-others

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