在本系列中，我的個人見解將使用斜體標注。由於時間關系，移除了例題部分，可參考答案鏈接，如有疑問，可在評論區處留言。由於文章是我獨自整理的，缺乏審閱，難免出現錯誤，如有發現歡迎在評論區中指正。
Part 1：不變子空間
不變子空間(invariant subspace) 設\(T\in\mathcal L(V)\)，如果\(\forall u\in U\)都有\(Tu\in U\)，則稱\(V\)的子空間\(U\)在\(T\)下不變。
- \(U\)在\(T\)下不變，當且僅當\(T|_U\)是\(U\)上的算子，即\(T|_U\in \mathcal L(U)\)。
- \(\forall T\in\mathcal L(V)\)，\(\{0\},V,\mathrm{null}T,\mathrm{range}T\)都是\(V\)在\(T\)下的不變子空間。
- 顯然\(\{0\}\)和\(V\)都是\(T\)下的不變子空間，它們是平凡的。盡管\(\mathrm{null}T\)和\(\mathrm{range}T\)也是不變子空間，但它們也可能是\(\{0\}\)或者\(V\)。
注意，不變子空間只保證映射到的像仍在子空間里，但不保證映射到的子空間仍是原空間，可能是原空間的一個子空間。
本征值(eigenvalue) 設\(T\in\mathcal L(V)\)，對於某個\(\lambda\in\mathbb{F}\)，若存在\(v\in V\)使得\(v\ne 0\)且\(Tv=\lambda v\)，則稱\(\lambda\)為\(T\)的本征值。
如果\(T\)有本征值\(\lambda\)使得\(\lambda v=Tv\)，則\(\mathrm{span}(v)\)是\(T\)下不變的一維不變子空間。
本征值的等價條件 設\(V\)是有限維的，\(T\in\mathcal L(V)\)且\(\lambda\in\mathbb{F}\)，則以下四點等價：
- \(\lambda\)是\(T\)的本征值。
- \(T-\lambda I\)不是單的。
- \(T-\lambda I\)不是滿的。
- \(T-\lambda I\)不是可逆的。
本征向量(eigenvector) 設\(T\in\mathcal L(V)\)，\(\lambda\in\mathbb{F}\)是\(T\)的本征值使得\(Tv=\lambda v\)，則稱向量\(v\ne 0\)是\(T\)的對應於本征值\(\lambda\)的本征向量。
要求本征值和本征向量，就是求\((T-\lambda I)v=0\)的解，即\(v\in\mathrm{null}T\)，找到使得\(T-\lambda I\)不可逆的\(\lambda\)即可。
不同本征值對應的本征向量線性無關 設\(T\in\mathcal L(V)\)，\(\lambda_1,\cdots,\lambda_m\)是\(T\)的互不相同的本征值，並設相應的本征向量為\(v_1,\cdots,v_m\)，則\(v_1,\cdots,v_m\)線性無關。
設\(v_1,\cdots,v_m\)線性相關，則必存在一個\(k\)使得\(v_1,\cdots,v_{k-1}\)線性無關，但\(v_1,\cdots,v_k\)線性相關，從而\(v_k\)可以被\(v_1,\cdots,v_{k-1}\)線性表示。不妨設
\[v_k=a_1v_1+\cdots+a_{k-1}v_{k-1}. \]兩邊同時用\(T\)作用，得到
\[Tv_k=a_1Tv_1+\cdots+a_{k-1}Tv_{k-1},\\ \lambda_kv_k=a_1\lambda_1 v_1+\cdots+a_{k-1}\lambda_{k-1}v_{k-1}. \]如果兩邊不用\(T\)作用，而是直接乘\(\lambda_k\)，則
\[\lambda_k=a_1\lambda_kv_1+\cdots+a_{k-1}\lambda_kv_{k-1}. \]將以上兩式作差得
\[a_1(\lambda_1-\lambda_k)v_1+\cdots+a_{k-1}(\lambda_{k-1}-\lambda_k)v_{k-1}=0, \]由於\(\lambda_1,\cdots,\lambda_k\)互不相等，且\(v_1,\cdots,v_{k-1}\)線性無關，所以有
\[a_1=\cdots=a_{k-1}=0, \]從而\(v_k=0\)，自然不能成為本征向量，推出矛盾。
由此，本征值個數有上線，因為\(V\)中最多可能有\(\dim V\)個線性無關的向量，假設他們全是本征向量，則對應的本征值個數就不可能超過\(\dim V\)。
本征值的個數 設\(V\)是有限維的，則\(V\)上的每個算子最多有\(\dim V\)個互不相同的本征值。
Part 2：限制算子與商算子
限制算子(restriction operator) 設\(T\in\mathcal L(V)\)，且\(U\)是\(V\)在\(T\)下的不變子空間，則限制算子定義為\(T|_U\in\mathcal L(U)\)，\(\forall u\in U\)，有
限制算子就是將原算子的定義域分解到一個不變子空間上，既然這個子空間在\(T\)下不變，自然\(Tu\in U\)，所以這個算子確實是\(U\)上的算子。
商算子(quotient operator) 設\(T\in\mathcal L(V)\)，且\(U\)是\(V\)在\(T\)下的不變子空間，則商算子\(T/U\in\mathcal L(V/U)\)定義為
商算子着眼於商空間上，關於商空間上定義的合理性往往是需要驗證的。
設\(v+U=w+U\)，則\(w-v\in U\)。由於\(U\)在\(T\)下不變，所以\(T(w-v)\in U\)，故
\[Tv+U=Tw+U, \]這說明了該映射的合理性。
對於\(v,w\in V\)，驗證此算子的加性，有
\[\begin{aligned} &\quad (T/U)[(v+U)+(w+U)] \\ &=(T/U)(v+w+U)\\ &=Tv+Tw+U\\ &=(Tv+U)+(Tw+U)\\ &=(T/U)(v+U)+(T/U)(w+U). \end{aligned} \]對於\(v\in V\)，驗證此算子的齊性，有
\[\begin{aligned} &\quad (T/U)[\lambda v+U]\\ &=\lambda Tv+U\\ &=\lambda[(T/U)(v+U)]. \end{aligned} \]故商算子是一個合理定義的線性映射。
既然限制算子和商算子是基於一個不變子空間來描述算子的，它們就可以描述原算子的部分信息，但不是全部。
Part 3：算子多項式
算子的冪(power) 設\(T\in\mathcal L(V)\)，\(m\)為正整數，則定義
- 特別地，定義\(T^0=I\)，是\(V\)上的恆等映射。
- 若\(T\)是可逆的，則記\(T^{-m}=(T^m)^{-1}=(T^{-1})^m\)。
- \(T^mT^n=T^{m+n}\)，\((T^m)^n=T^{mn}\)。
關於第二點，有
\[(T^{-1})^m\cdot T^m=\underbrace{T^{-1}\cdots T^{-1}}_{m\text{ items}}\underbrace{T\cdots T}_{m\text{ items}}=\underbrace{T^{-1}\cdots T^{-1}}_{m-1\text{ items}}I\underbrace{T\cdots T}_{m-1\text{ items}}=\cdots=I. \]所以\((T^m)^{-1}=(T^{-1})^m\)。
關於第三點，直接展開即可。
算子的多項式 設\(T\in\mathcal L(V)\)，\(p\in\mathcal P(\mathbb{F})\)，對\(z\in\mathbb{F}\)，有\(p(z)=a_0+a_1z+\cdots+a_mz^m\)，則定義\(p(T)\)為
- 算子的多項式（包括算子的冪）是線性映射。
多項式乘積 若\(p,q\in\mathcal P(\mathbb{F})\)，則\((pq)\in\mathcal P(\mathbb{F})\)定義為：\(\forall z\in\mathbb{F}\)，有
- \((pq)(T)=p(T)q(T)\)。
- \(p(T)q(T)=q(T)p(T)\)，即多項式對算子的乘積是可交換的。
設\(p(z)=\sum_{j=0}^m a_jz^j\)，\(q(z)=\sum_{k=0}^n b_kz^k\)，則
\[(pq)(z)=\sum_{j=0}^m\sum_{k=0}^n a_jb_kz^{j+k}, \]故
\[(pq)(T)=\sum_{j=0}^m\sum_{k=0}^n a_jb_kT^{j+k}=\sum_{j=0}^ma_jT^j \sum_{k=0}^nb_kT^k=p(T)q(T). \]從而\(p(T)q(T)=(pq)(T)=(qp)(T)=q(T)p(T)\)。