第4章 二次同余式與平方剩余 -《信息安全數學基礎》

一、一般二次同余式

定義1.1：

設m是正整數，若同余式x² a（mod m），（a，m）= 1有解，則a叫做模m的平方剩余（或二次剩余）；否則，a叫做模m的平方非剩余（或二次非剩余）。

 

二、模為奇素數的平方剩余與平方非剩余

定理2.1：

同余式4.4：

x² a（mod p），（a，p）= 1

推論：

若p是奇素數，（a1，p）= 1，（a2，p）= 1，則

• 如果a1，a2都是模p的平方剩余，則a1 · a2是模p的平方剩余；
• 如果a1，a2都是模p的平方非剩余，則a1 · a2是模p的平方剩余；
• 如果a1是模p的平方剩余，a2是模p的非平方剩余，則a1 · a2是模p的非平方剩余。

定理2.2：

 

三、勒讓得符號

1、勒讓得符號之運算性質

定義3.1：

定理3.1：

定理3.2：

定理3.3：

2、高斯引理

引理3.1：

定理3.4：

推論：

 

四、二次互反律

定理4.1：

 

五、雅可比符號

定義5.1：

定理5.1：

引理5.1：

定理5.2：

定理5.3：

 

六、模平方根

1、模p平方根

定理6.1：

定理6.2：

2、模p平方根

定理6.3：

3、模m平方根

定理6.4：

推論：

定理6.5：

 

七、x² + y² = p

定理7.1：