定義：設 $m$ 是正整數 若同余式
$$x^2 \equiv a(mod \ p),\ (a, p)=1$$
有解，則 $a$ 叫做模 $p$ 的二次剩余（或平方剩余）；否則，$a$ 叫做模 $p$ 的二次非剩余。
歐拉判別條件：
設方程
$$x^2 \equiv a (mod \ p), \ \ (a,p)=1,p為奇素數$$
(i) $a$ 是模 $p$ 的二次剩余的充分必要條件是
$$a^{\frac{p-1}{2}} \equiv 1(mod \ p)$$
(ii) $a$ 是模 $p$ 的二次非剩余的充分必要條件是
$$a^{\frac{p-1}{2}} \equiv -1(mod \ p)$$
並且當 $a$ 模 $p$ 的二次剩余時，同余式有兩個解。
定理1：$x^2 \equiv a(mod \ p)$ 中有 $\frac{p-1}{2}$ 個 $a$ 能使得方程有解
也就說有 $\frac{p-1}{2}$ 的二次剩余。
例如，1，2，4是模7的二次剩余，-1，3，5是模4的二次非剩余。
勒讓德（Lagendre）符號：
設 $p$ 是素數，定義如下：
$$\left({n\over p}\right)=\begin{cases}1, \ \ \ \ p不是n的倍數,n是p的二次剩余\\-1, \ \ p不是n的倍數，n是p的二次非剩余（不是二次剩余就是非剩余）\\0, \ \ \ \ p是n的倍數
\end{cases}$$
有定理1知，$p-1$ 中有一半為1，一半為-1.
根據歐拉判別法則，設 $p$ 是奇素數，對任意整數 $a$，
$$(\frac{a}{p}) \equiv a^{\frac{p-1}{2}} (mod \ p)$$
二次互反律：若 $p, q$ 是互素奇素數，則
$$(\frac{q}{p}) = (-1)^{\frac{p-1}{2}\cdot \frac{q-1}{2}}(\frac{p}{q})$$
參考鏈接：https://blog.csdn.net/doyouseeman/article/details/52033204