定義：∀ n,m ,(n,m)=1,m≥2，若n是模m的二次剩余《==》x**2 ≡ n (mod m)有解
例：
若n=2,m=3，x**2 ≡ 2 (mod 3)無解，則2是模3的二次非剩余
若n=2,m=7，x**2 ≡ 2 (mod 7)在x=3時成立，有解，故2是模7的二次剩余
Th1:在模p(奇素數)的縮系{1,2,3,...,p-1}中，有(p-1)/2個二次剩余和(p-1)/2個二次非剩余，且其中二次剩余為A:{<1>,<2**2>,...,<((p-1)/2)**2>}
證明：
（A中元素兩兩不同）
假設 ∃i,j i≠j ,1≤i≤(p-1)/2有
<i**2> ≡ <j**2>
故<i**2> ≡ i**2 (mod p)
<j**2> ≡ j**2 (mod p)
∴i**2 ≡ j**2 (mod p)
∴p|(i**2-j**2)即p | (i+j)*(i-j)
∵2<i+j<p-1
∴p|i-j,故p≤|i-j|
∵|i-j|<(p-1)/2
∴假設所得結果與事實不成立，故A中元素兩兩不同
（A中每個元素是模p的二次剩余）
∀ <i**2> ∈A ,<i**2> ≡ i**2 (mod A)
∴ ∃x=i,有x**2≡ <i**2> (mod p)
故A中的每個元素是模p的二次剩余
（n∈{1,2,...,p-1}(模p的縮系)是模p的二次剩余，則n∈A）
∃ x,有x**2 ≡ n (mod p)
∴(p-x)**2 ≡ n (mod p)
若x≥(p-1)/2+1,(p-x)≥(p-1)/2+1，則p≥p+1,但p<p+1,故p-x和x中有一個≤(p-1)/2,一個≥(p-1)/2+1
∴n ≡ x**2 (mod p) (或者n ≡ (p-x)**2 (mod p))
∵x≤(p-1)/2(或p-x≤(p-1)/2)
故n∈A,即A中每個元素是模p的二次剩余，得證
Th2:(歐拉判別准則）
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引入勒讓德符號：(n/p),其中
①(n/p)=1 --> n是p的二次剩余
②(n/p)≠1 --> n是p的二次非剩余
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①若(n/p)=1，則n**((p-1)/2) ≡ 1 (mod p)
②若(n/p)=-1，則n**((p-1)/2) ≡ -1 (mod p)
證明：
（(n/p)=1 => n**((p-1)/2) ≡ 1 (mod p)）
∵(n/p)=1
故∃ x,有 x**2 ≡ n (mod p)
∵(x,p)=1，故x**(p-1) ≡ 1 (mod p)
故(x**2)**((p-1)/2) ≡ n**(p-1)/2 (mod p)
即n**((p-1)/2） ≡ 1 (mod p)
（ n**((p-1)/2) ≡ 1 (mod p) => （n/p）=1）
∵n**((p-1)/2) ≡ 1 (mod p)，且1 ≠ 0 (mod p)
根據拉格朗日定理，可知對於同余式，解數≤(p-1)/2
又∵對於集合A={<1>,<2**2>,...,<((p-1)/2)**2>}
取i∈A,則有(<i**2>)**(p-1)/2 ≡ (i**2)**(p-1)/2 ≡ i**(p-1) ≡ 1 (mod p)
∴A中元素為同余式n**((p-1)/2) ≡ 1 (mod p)的解
又∵A中元素恰為(p-1)/2個∴A中元素就是同余式n**((p-1)/2) ≡ 1 (mod p)的解，也就是說n的取值在集合A中
∴(n/p)=1
若(n/p)=-1，則(n/p)≠1
∴n**(p-1)/2 ≠ 1 (mod p)
∵(n,p)=1 ∴n**(p-1) ≡ 1 (mod p)
∴(n**(p-1)/2)**2 ≡ 1(mod p)
∴((n**(p-1)/2)**2)-1 ≡ 0 (mod p)
∴p | (n**(p-1)/2)**2-1 即p | ((n**(p-1)/2)+1)*((n**(p-1)/2)-1)
∵n**(p-1)/2 ≠ 1 (mod p) ∴ p | (n**(p-1)/2)+1 即 (n**(p-1)/2) ≡ -1 (mod p)
得證，綜上所述，n**(p-1)/2 ≡ (n/p) (mod p)
推論：若p 不整除於 m*n,則((m*n)/p)=(m/p)*(n/p)
證明：
(m/p)=m**(p-1)/2 (mod p)
(n/p)=n**(p-1)/2 (mod p)
故(m/p)*(n/p)=m**(p-1)/2 * n**(p-1)/2 (mod p)
= (m*n)**((p-1)/2) (mod p)=((m*n)/p) (mod p),得證
高斯引理：
若(p,n)=1,<1*n><2*n>,...,<(p-1)/2*n>中有m個數>p/2,則(n/p)=(-1)**m
證明：設集合A={<1*n>,<2*n>,...,<(p-1)/2*n>}={a1,a2,...,al,b1,b2,...,bm}，其中1≤ai<p/2, bj>p/2,l+m=p-1,A∈{1,2,...,p-1}
則p-bj≠ ai (mod p)
(
證明p-bj≠ ai (mod p):
p/2<bj<p-1<p
故0<bj<p/2，即1≤p-bj<p/2
若p-bj ≡ ai (mod p),則ai+bj≡ 0 (mod p)
∴∃ x,y，有<x*n>+<y*n> ≡ 0 (mod p)
即<n*(x+y)> ≡ 0 (mod p)
∵x,y∈[1,p-1/2]
∴x+y∈[2,p-1]
∴(<x+y>,p)=1
∵(n,p)=1，故<n*(x+y)> ≠ 0 (mod p)
與<n*(x+y)> ≡ 0 (mod p)，故不存在這樣的x,y使得p-bj ≡ ai (mod p)成立
∴p-bj≠ ai (mod p)
)
∴{a1,a2,...,al,p-b1,p-b2,...,p-bk}={1,2,...,(p-1)/2}(模p的二次剩余集合)
∴∏ai*∏(p-bj)=((p-1)/2)!
∵ai,bj∈{<1*n><2*n>,...,<(p-1)/2*n>},故
∏ai*∏(p-bj) = [1*2*...*((p-1)/2)]*[(-1)**(m)]*[n**(p-1)/2] ≡ ((p-1)/2)! (mod p)
即 [(-1)**(m)]*[n**(p-1)/2] ≡ 1 (mod p)
∵[n**(p-1)/2] ≡ (n/p) (mod p)
∴ [(-1)**(m)]*[n**(p-1)/2] =(n/p)*(-1)**(m) ≡ 1 (mod p)
∴(n/p)≡(-1)**(m) (mod p)得證