第1章 整數的可除性 -《信息安全數學基礎》

一、整除的概念，歐幾里得除法

1、整除的概念

定義1.1：

設a，b是任意兩個整數，其中b ≠ 0.如果存在一個整數q使得等式 a = q · b 成立，就稱 b 整除 a 或者 a 被 b 整除，記作 b | a，並把b叫做a的因數，把a叫做b的倍數。人們常把q寫成 a / b。否則，就稱b不能整除a，或者a不能被b整除。

此外，再不會混淆的情況下，乘法a·b簡記為ab。

注：

（1）當b遍歷整數a的所有因數時，-b也遍歷整數a的所有因數。

（2）當b遍歷整數a的所有因數時，a/b也遍歷整數a的所有因數。

根據定義有：

• 0是任何非零整數的倍數。
• 1是任何整數的倍數。
• 任何非零整數a是其本身的倍數，也是其自身的因數。

定理1.1：

設a，b ≠ 0，c ≠ 0是三個整數。若 b | a，c | b，則c | a。

定理1.2：

設a，b，c ≠ 0是三個整數。若c | a，c | b，則c | a ± b。

定理1.3：

設a，b，c ≠ 0是三個整數。若c | a，c | b，則對任意整數s，t，有c |（s·a+t·b）。

定理1.4：

設整數c ≠ 0。若整數a_{1，···，}a_n都是整數c的倍數，則對任意n個整數s₁，···，s_n，整數s₁a₁ + ··· + s_na_n是c的倍數。

定理1.5：

設a，b都是非零整數。若a | b，b | a，則a = ±b。

定義1.2：

設整數n ≠ 0，±1.如果除了顯然因數±1和±n外，n沒有其他因數，那么n就叫做素數（或質數或不可約數），否則，n叫做合數。

定理1.6：

設n是一個正合數，p是n的一個大於1的最小正因數，則p一定是素數，且p≤n^1/2。

 

2、Eratoshenes篩法

定理1.7：

設n是正整數。若果對所有的素數p ≤ n^1/2，都有p不被n整除，則n一定是素數。

應用該定理，可得到一個尋找素數的確定性方法，通常叫做平凡除法或厄拉托塞師篩法。

 

3、歐幾里得除法 —— 最小非負余數

定理1.9（歐幾里得除法）：

設a，b是兩個整數，其中b>0，則存在唯一的整數q，r使得a = q·b + r ，0 ≤ r ≤ b 。

定義1.3：

a = q·b + r ，0 ≤ r ≤ b中，q叫做a被b除所得的不完全商，r叫做a被b除所得的余數。

定義1.4：

設x是實數，稱x的整數部分為小於或等於x的最大整數，記成[x]。

這時，有[x] ≤ x＜ [x]+1。

 

4、素數的平凡判別

素數的平凡判別：對於給定正整數N，設不大於N^1/2的所有素數為p₁，p_2,，···，p_s。

如果N被所有p_i除的余數都不為零，則N是素數。

 

5、歐幾里得除法 —— 一般余數

定理1.10（歐幾里得除法）：

設a，b是兩個整數，其中b＞0.則對任意的整數c，存在唯一的整數q，r使得

a = q·b+r，c ≤ r＜b+c

 

二、整數的表示

1、b進制

定理2.1：

設b是大於1的正整數，則每個正整數n可唯一地表示成

n = a_k-1b^k-1 + a_k-2b^k-2 + ··· + a₁b + a₀，

其中a_i是整數，0 ≤ a_i ≤ b-1，i = 1，···，k-1，且首項系數a_k-1 ≠ 0.

2、計算復雜性

大O符合和小o符號

大O符號：

設f(n)和g(n)都是正整數n的正值函數，如果存在一個正常數C，使得對任意的正整數n都有f(n) ≤ Cg(n)，

就稱g(n)是f(n)的界，記作f(n) = O(g(n))，簡記為f = O(g)。

小o符號：

設f(n)和g(n)都是正整數n的正值函數，如果對任意小的正數€，存在一個正整數N₀，使得對任意的正整數n ＞ N₀都有f(n) ＜ €g(n)，

就稱g(n)是比f(n)高階的無窮量，記作f(n) = o(g(n))，簡記為f = o(g)。

 

三、最大公因數與廣義歐幾里得除法

1、最大公因數

定義3.1：

設a₁，···，a_n是n（n≥2）個整數。若整數d是它們中每一個數的因數，則d就叫做a₁，···，a_n的一個公因數。

d是a₁，···，a_n的一個公因數的數學表達式為：d | a₁，···，d | a_n。

如果整數a₁，···，a_n不全為零，那么a₁，···，a_n的所有公因數中最大的一個公因數叫做最大公因數，記作（a₁，···，a_n）。

特別地，當（a₁，···，a_n） = 1 時，稱a₁，···，a_n互質或互素。

注①：d ＞ 0是a₁，···，a_n的最大公因數的數學表達式可表述為

1. d | a₁，···，d | a_n
2. 若 e | a₁，···，e | a_n，則e | d。

注②：a，b的最大公因數 d = （a，b）是集合

　　{ s · a + t · b | s， t ∈ Z}

注③：a₁，···，a_n的最大公因數 d 是集合

　　{ s₁ · a₁ + ··· + s_n · a_n | s₁，···，s_n ∈ Z}

定理3.1：

設a₁，···，a_n是n個不全為零的整數，則

1. a₁，···，a_n 與 |a₁|，···，|a_n|的公因數相同
2. （a₁，···，a_n）=（|a₁|，···，|a_n|）。

定理3.2：

設b是任一正整數，則（0，b）= b。

定理3.3：

設a，b，c是三個不全為零的證書。如果a = q · b + c，其中q是整數，則（a，b）= （b，c）

性質3.1：

定理3.4：

定理3.5：

 

2、最大公因數的進一步性質

定理3.9：

設a，b是任意兩個不全為零的整數，d是正整數，則d是整數a，b的最大公因數的充要條件是：

1. d | a，b | b；
2. 若 e | a，e | b， 則e | d。

假設1,2成立，那么

1. 說明d是整數a，b的公因數；
2. 說明d是整數a，b的公因數中的最大數，因為e | d 時，有 | e | ≤ d。

因此，d是整數a，b的最大公因數。

定理3.10：

 

 

定理3.11：

定理3.12：

定理3.13：

 

3、多個整數的最大公因數及運算

定理3.14：

定理3.15：

 

4、形為2^α-1的整數及其最大公因數

 

四、整除的進一步性質及最小公倍數

1、整數的進一步性質

定理4.1：

設a，b，c是三個整數，且c ≠ 0，如果c | ab，（a，c）= 1，則c | b。

定理4.2：

設p是素數。若p | ab，則p | a 或 p | b。

定理4.3：

設a₁，···，a_n是n個整數，p是素數。若p | a₁，···，a_n，則p一定整除某一a_k，1 ≤ k ≤ n。

2、最小公倍數

定義4.1：

 

定理4.4：

 

3、最小公倍數與最大公因數

定理4.5：

 

4、多個整數的最小公二倍數

定理4.6：

定理4.7：

 

五、整數分解

定理5.1：

 

六、素數的算數基本定理

1、算數的基本定理

定理6.1：

定理6.2：

 

2、算數基本定理的應用

定理6.3：

定理6.4：

定理6.5：

定理6.6：

 

七、素數定理

定理7.1：