第2章 同余 -《信息安全數學基礎》

一、同余的概念及基本性質

1、同余的概念

定義1.1：

給定一個正整數 m 。兩個整數 a，b 叫做模m同余，如果 a - b 被 m 整除，或 m | a - b，記作a ≡ b（mod m）。否則叫做模 m 不同余，記作 a ≠ b（mod m）(此處為三橫)。

2、同余的判斷

定理1.1：

設 m 是一個正整數，設 a，b 是兩個整數，則 a ≡ b（mod m）的充要條件是存在一個整數q使得 a = b + q · m。

定理1.2：

設 m 是一個正整數，則模 m 同余是等價關系，即

1. （自反性）對任一整數a，有a ≡ a（mod m）；
2. （對稱性）若a ≡ b（mod m），則b ≡ a（mod m）；
3. （傳遞性）若a ≡ b（mod m），b ≡ c（mod m），則a ≡ c（mod m）。

定理1.3：

設m是一個正整數，則整數a，b模m同余的充分必要條件是a，b被m除的余數相同。

定理1.4：

設m是一個正整數，設a₁，a₂，b₁，b₂是4個整數。如果a₁ ≡ b₁（mod m），a₂ ≡ b₂（mod m），則

1. a₁ + a₂ ≡ b₁ + b₂（mod m）；
2. a₁ · a₂ ≡ b₁ · b₂（mod m）。

定理1.5：

若x ≡ y（mod m），a_i ≡ b_i（mod m），0 ≤ i ≤ k，則a₀ + a₁x + ··· + a_kx^k ≡ b₀ + b₁y + ··· + b_ky^k（mod m）。

定理1.6：

設整數n有十進制表示式n = a_k10^k + a_k-110^k-1 + ··· + a₁10 + a₀，0 ≤ ai＜10.則

• 3 | n的充分必要條件是3 | a_k + ·· ·+ a₀；
• 9 | n的充分必要條件是9 | a_k + ··· + a₀。

定理1.7：

設整數n有一千進制表示式：n = a_k1000^k + ··· + a₁1000 + a₀，0 ≤ a_i ≤ 1000。

則7（或11，或13）整除n的充分必要條件是7（或11，或13）能整除整數（a₀ + a₂ + ··· ）-（a₁ + a₃ + ···）。

3、同余的性質

定理1.8：

設m是一個正整數，設d · a ≡ d · b（mod m）。如果（d，m）= 1，則a ≡ b（mod m）。

定理1.9：

設m是一個正整數，設a ≡ b（mod m），d ＞0，則d · a ≡ d · b（mod m）。

定理1.10：

設m是一個正整數，是a ≡ b（mod m）。如果整數d | （a，b，m），則a/d ≡ b/d（mod m/d）。

定理1.11：

設m是一個正整數，設a ≡ b（mod m）。如果d | m，則a ≡ b（mod d）。

定理1.12：

設m₁，···，m_k是k個正整數，設a ≡ b（mod m_i），i = 1，···，k，則a ≡ b（mod [m₁，···，m_k]）。

定理1.13：

設a ≡ b（mod m），則（a，m）= （b，m）。

 

二、剩余類及完全剩余系

1、剩余類與剩余

定理2.1：

 定義2.1：

2、完全剩余系

定理2.1：

設m是一個正整數，則m個整數r₀，r₁，···，r_m-1為膜m的一個完全剩余系的充分必要條件是它們模m兩兩不同余。

定理2.2：

設m是正整數，a是滿足（a，m）= 1 的整數，b是任意整數。若k遍歷模m的一個完全剩余系，則a · k + b也遍歷模m的一個完全剩余系。

3、兩個模的完全剩余系

定理2.3：

設m₁，m₂是兩個互素的正整數。若k₁，k₂分別遍歷模m₁，m₂的完全剩余系，則m₂ · k₁ + m₁ · k₂遍歷模m₁ · m₂的完全剩余系。

4、多個模的完全剩余系

定理2.4：

設m₁，m₂，···，m_k是k個互素的正整數。若x₁，x₂，···，x_k分別遍歷模m₁，m₂，···，m_k的完全剩余系，則m₂ ··· m_{k ·} x₁ + m₁ · m₃ ··· m_k · x₂ + ··· + m₁ ··· m_k-1 · x_k遍歷模m₁m₂ ··· m_k的完全剩余系。

 

三、簡化剩余系與歐拉函數

1、歐拉函數

定義3.1：

設m是一個正整數，則m個整數1，···，m-1，m中與m互素的整數的個數，記作φ(m)，通常叫做歐拉(Euler)函數。

定理3.1：

2、簡化剩余類與簡化剩余系

定義3.1：

一個模m的剩余類叫做簡化剩余類，如果該類中存在一個與m互素的剩余，這時，簡化剩余類中的剩余叫做簡化剩余。

注：

1. 簡化剩余類的這個定義與剩余的選取無關；
2. 兩個簡化剩余的乘積仍是簡化剩余。

定理3.2：

設r₁，r₂是同一模m剩余類的兩個剩余，則r₁與m互素的充分必要條件是r₂與m互素。

定義3.2：

性質3.1：

設m ＞ 1是整數，a，b是模m的兩個簡化剩余，則它們的乘積也是簡化剩余。

定理3.3：

設m是一個正整數，若r1，···，r_ψ(m)是ψ(m)個與m互素的整數，並且兩兩模m不同余，則r1，···，r_ψ(m)是模m的一個簡化剩余系。

定理3.4：

設m是一個正整數，a是滿足（a，m）= 1的整數。如果k遍歷模m的一個簡化剩余系，則a · k也遍歷模m的一個簡化剩余系。

定理3.5：

設m是一個正整數，a是滿足（a，m）= 1的整數，則存在唯一的整數a'，1 ≤ a' ＜ m，使得a · a' ≡ 1（mod m）。

3、兩個模的簡化剩余系

定理3.6：

設m₁，m₂是互素的兩個正整數。如果k₁，k₂分別遍歷模m₁和m₂的簡化剩余系，則m₂ · k₁ + m₁ · k₂遍歷模m₁ · m₂的簡化剩余系。

4、歐拉函數的性質

定理3.7：

設m，n是互素的兩個正整數，則ψ(m · n) = ψ(m) · ψ(n)。

定理3.8：

推論：

設p，q是不同的素數，則ψ(p · q) = p · q - p - q + 1.

定理3.9：

 

四、歐拉定理，費馬小定理和Wilson定理

1、歐拉定理

定理4.1（Euler）：

設m是大於1的整數。如果a是滿足（a，m） = 1的整數，則a^ψ(m) ≡ 1（mod m）。

2、費馬小定理

定理4.2（Fermat）：

設p是一個素數，則對任一整數a，有a^p ≡ a（mod p）。

推論：

設p是一個素數，則對任意整數a，以及對任意正整數t，k，有a^t+k(p-1) ≡ a^t（mod p）。

3、Wilson定理

定理4.3（Wilson）：

設p是一個素數，則（p - 1）!≡ -1（mod p）。

 

五、橫重復平方計算法

 

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