前言
最開始搞 \(OI\) 的時候接觸了搜索算法，后面基本上沒有在練過了。若本文有誤，請在討論區指出。
思想
假設一張圖， \(ans1\) 在很深的地方， \(ans2\) 離搜索樹的根節點最近，但是需要找到的答案為 \(ans3\) 。
首先考慮 \(DFS\) ，一般是一搜搜到底，很有可能找到 \(ans1\) 。若繼續查找，很有可能花費太多時間。時間效率低。
再來考慮 \(BFS\) ，它可以找到最近的答案 \(ans2\) 。若繼續查找，很有可能存儲狀態的隊列會浪費巨大空間。空間效率低
現在引出 \(IDDFS\) ，它通常適用於有兩個條件的問題：一是它是個最優解問題，二是最優的答案深度最小。且能夠快速地找到答案。
假設在搜索樹中，每層樹都有 \(3\) 個方案，即是搜索樹為一顆 \(3\) 叉樹，共 \(2\) 層， \(ans\) 在 \(3\) 。
先來對比 \(DFS\) ，搜索路徑為 \(1-2-5-2-6-2-7-2-1-3\) ，找到答案。有最壞情況，即每一個分支都是一個無底洞，若永遠搜索不到答案，就會卡在里面。
再來對比 \(BFS\) ，搜索路徑為 \(1-2-3\) ，看起來比較短，但是隊列中有 \(1,2,5,6,7,3\) 的信息，若答案更深一些，那么就會炸空間。
通過上述兩個例子，可以知道 \(DFS\) 和 \(BFS\) 的局限性，但也各有千秋。結合兩種算法，就有了迭代加深。首先限定一個層數，對於搜索樹進行深度優先搜索。假設這個層數為 \(1\) ，那么深搜只會搜索到 \(2\) ，不會繼續加深。首先試探性地來找答案，直到找到答案位置。很明顯，上面幾層的點會搜到很多遍，但時間復雜度對於 \(DFS\) 來說比較優，而在空間復雜度上比 \(BFS\) 上略勝一籌。
很容易就寫出模板：
int max_depth = min_depth;
Id_Dfs( int current_depth , int max_depth ) {
if( current_depth > max_depth ) return ;
if( 找到答案 ){ 輸出答案 ; (exit(0) ; || return ;) }
for each ( 當前節點的兒子節點 )
Id_Dfs(current_depth + 1, max_depth) ;
}
for(; ; max_depth++ ) {
Id_Dfs( 0 , i ) ;
}
結合例題理解。
題目
一個與 \(n\) 有關的整數加成序列 \(<a_0,a_1,a_2,...,a_m>\) 滿足以下四個條件：
- \(a_0=1\)
- \(a_m=n\)
- \(a_0<a_1<a_2<...<a_{m-1}<a_m\)
- 對於每一個 \(k(1≤k≤m)\) 都存在有兩個整數 \(i\) 和 \(j(0≤i,j≤k-1\)，\(i\) 和 \(j\) 可以相等 )) ，使得 \(a_k=a_i+a_j\)
你的任務是：給定一個整數 \(n\) ，找出符合上述四個條件的長度最小的整數加成序列。如果有多個滿足要求的答案，只需要輸出任意一個解即可。
思路
按照 \(1,2,4,8...\) 這樣來排列，找出最少需要的次數那么最少的層數就找到了，就減少了之前做的無用功。
樹上的子節點也較為好找，只需要將之前搜索到的數字，按照題意兩兩搭配找到下一項。
只需要按照 \(IDDFS\) 的規則搜索就行了。但重點在於剪枝，寫在注釋里的。
for(int i = nowdepth; i >= 1; i--) {
for(int j = nowdepth; j >= i; j--) {//兩兩搭配，且答案越大越容易找到解，故而到着找
if(ans[i] + ans[j] <= n && ans[i] + ans[j] > ans[nowdepth]) {//滿足題意1，2兩點的搜索
int now;//找到下一項
ans[nowdepth + 1] = now = ans[i] + ans[j];
for(int k = nowdepth + 2; k <= limit; k++)
//從nowdepth + 1這一項開始，后面最大時也就是now不停擴大2倍，若最大都達不到n，舍去不求
now <<= 1;
if(now < n)
continue;
Id_Dfs(nowdepth + 1);//搜索下一層
if(flag)//找到答案
return;
}
}
}
C++代碼
#include <cstdio>
#include <cstring>
bool Quick_Read(int &N) {
N = 0;
int op = 1;
char c = getchar();
while(c < '0' || c > '9') {
if(c == '-')
op = -1;
c = getchar();
}
while(c >= '0' && c <= '9') {
N = (N << 1) + (N << 3) + (c ^ 48);
c = getchar();
}
N *= op;
return N != 0;
}
void Quick_Write(int N) {
if(N < 0) {
putchar('-');
N = -N;
}
if(N >= 10)
Quick_Write(N / 10);
putchar(N % 10 + 48);
}
const int MAXN = 1e5 + 5;
int ans[MAXN];
int limit;
bool flag;
int n;
void Id_Dfs(int nowdepth) {
if(nowdepth > limit || flag)//達到層數不在戀戰或找到答案，直接跳出
return;
if(ans[nowdepth] == n) {//滿足題意
flag = true;
return;
}
for(int i = nowdepth; i >= 1; i--) {
for(int j = nowdepth; j >= i; j--) {//兩兩搭配，且答案越大越容易找到解，故而到着找
if(ans[i] + ans[j] <= n && ans[i] + ans[j] > ans[nowdepth]) {//滿足題意1，2兩點的搜索
int now;//找到下一項
ans[nowdepth + 1] = now = ans[i] + ans[j];
for(int k = nowdepth + 2; k <= limit; k++)
//從nowdepth + 1這一項開始，后面最大時也就是now不停擴大2倍，若最大都達不到n，舍去不求
now <<= 1;
if(now < n)
continue;
Id_Dfs(nowdepth + 1);//搜索下一層
if(flag)//找到答案
return;
}
}
}
}
void Work() {
for(; !flag; limit++)//直到找到答案時停止搜索
Id_Dfs(1);
for(int i = 1; i < limit; i++) {//輸出
Quick_Write(ans[i]);
putchar(' ');
}
putchar('\n');
}
void Init() {
limit = 1;
int test = 1;
while(test < n) {//找到最小層數
test <<= 1;
limit++;
}
ans[1] = 1;
flag = false;
}
int main() {
while(Quick_Read(n)) {//多組輸入輸出，到0為止
Init();
Work();
}
return 0;
}