IIR濾波器設計【轉】

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在文章如何快速設計一個FIR濾波器（一）以及如何快速設計一個FIR濾波器（二）等文章中，我們討論了如何設計FIR（Finite Impulse Response Filter），FIR有很多優點，比如可以獲得線性相位，不存在穩定性問題等，典型的FIR具有如下形式：

當  時幅值響應可以變得更為陡峭和理想，這樣做的缺點就是需要采集更多的點進行計算，有時候這么做不太適用。因此工程上很多時候采用的是IIR（Infinite Impulse Response Filter）,IIR和FIR最大的區別就是輸出不僅僅取決於輸入，還取決於輸出，IIR的標准形式如下：

IIR的設計和FIR有較大的區別，接下來我們就簡單討論一下，先從一個最常見的傳遞函數說起。

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一、從一個最常見的傳遞函數說起

慣性環節是我們碰到最多的傳遞函數了，其基本形式如下：

這個函數有什么特點呢？——無外乎就是從幅值響應和相位響應兩個角度來看了。我們只考慮穩態時系統的響應，也就是令  ，於是傳遞函數形式可以改寫為：

我們來簡單的分析一下這個傳遞函數，很顯然:

當  時，  ;

當  時，  ;

當  時，  ;

也就是說，  在低頻是幅值響應大（沒衰減，為1），頻率增加到  時幅值響應下降到  ，當頻率增加到  時，幅值響應降到了幾乎為零，因此這個濾波器應該是一個低通濾波器。下面我們從數學的角度嚴謹的看一下，  幅值響應為：

相位響應為：

畫個圖更直觀：

可見，這確是一個低通濾波器。我們知道截止頻率的定義是當輸出幅值響應下降到輸入幅值的-3dB (  )，也就是0.707(也就是  )時對應的頻率。因此，此處  就是截止頻率。

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二、如何設計一個高通模擬濾波器

對於低通濾波器，令截止頻率  ，形式為：  ，我們把這個稱之為標准化的低通濾波器。那假如我們現在想設計一個高通濾波器  該怎么辦呢？

同樣令  ，我們的目標是：

當  時，  ;

當  時，  ;

當  時，  ;

很簡單，將  即可，則傳遞函數變形為：

我們畫個圖看一下：

哈哈，果然是高通濾波器，而且截止頻率就是  。

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三、如何設計一個帶通模擬濾波器

那假如我們現在想設計一個帶通濾波器該怎么辦呢？

也就是我們想要：

當  時，  ;

當  時，  ;

當  時，  ;

當  時，  ;

 、  分別為帶通的高和低端的頻率。我們經過幾次嘗試以后呢發現，可以將標准形式的低通濾波器中  進行如下替換就可以實現：，其中  ,  。

則變換后的傳遞函數變為：

於是就得到了一個帶通濾波器。

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四、如何設計一個帶阻模擬濾波器

那假如我們現在想設計一個帶阻濾波器該怎么辦呢？

同樣令  ，也就是我們想要：

當  時，  ;

當  時，  ;

當  時，  ;

當  時，  ;

同樣，我們將標准形式的  進行變換， ，則可以得到：

畫個圖看看：

可見，確實得到了一個帶阻濾波器。

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好了，需要停下來總結一下，我們有了一個標准的低通模擬濾波器  ，通過適當的變形，我們可以得到相應的高通、帶通及帶阻模擬濾波器。但是我們現在是要設計數字濾波器啊，這不是跑題了嗎？——也不見得，按照我們的直覺，模擬濾波器和數字濾波器應該存在某種聯系，如果我們找到了這個聯系，就可以通過模擬濾波器來得到數字濾波器，問題就解決了。那這個聯系是什么呢？——雙線性變換。

五、什么是雙線性變換

在如何理解離散傅里葉變換及Z變換一文中我們介紹了什么是z變換，以及z和s的關系：

 ，其中  為采樣周期。這就是模擬(s)和數字(z)的聯系，理論上可以直接用的，指數函數用起來比較復雜，不方便，我們需要一個更簡單的形式。

稍微變一下形：

我們知道，函數  的泰勒展開為：

利用上式分別對分子和分母進行泰勒展開，並只取前兩項：

稍微變一下形：

這就是雙線性變換了，為啥這個名字呢？——因為它是用兩個s域的線性函數的比值來逼近z的。我們稍微做一個推演，看看雙線性變換代表什么。首先看一下z域的單位圓：

我們知道：

• 在s域，s=0時對應的是零頻率，對應到z域就是z=1；
• 在s域，s=∞時對應的是無窮大頻率f=∞。通過非線性變換，我們知道此時z=-1，對應的頻率就是  ；

因此，雙線性變換本質就是就是將s域（模擬量）無窮大的頻率映射到z域的  ，因為根據香濃采樣定理，數字信號的包含的最大分量的頻率就是一半的采樣頻率，否則就會產生混疊。

可見，對於雙線性變換而言，在s域的頻率和z域對應的頻率不同，發生了一定的彎曲，也就意味着截止頻率在s域和在z域是不一樣的，現在我們需要找到這種關系。

在z域，假設截止頻率為  ，則

根據雙線性變換計算得到的s為

此時s對應模擬的頻率為：

所以

即

也就是說對於雙線性變而言，模擬的截止頻率和數字的截止頻率是不同的，不同的原因是因為雙線性變換是近似變換，不是准確換算。

值得一提的是，當  時，即采樣頻率遠大於截止頻率，可以得到

也就是模擬的截止頻率和數字的截止頻率差不多，為簡單起見，也可以直接用數字的截止頻率代替模擬的截止頻率。

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六、如何設計數字濾波器

有了前面的鋪墊，我們就可以進行數字的IIR濾波器設計了，基本有如下五個步驟：

1. 選擇一個歸一化的模擬濾波器  ；
2. 確定數字濾波器的截止頻率，也就是響應為-3dB（幅值衰減為  ）是對應的頻率；
3. 利用公式  計算對應的模擬截止頻率；
4. 選擇合適的變換，得到  比如對於低通濾波器：  其中  。
5. 在  中，用  進行替換，得到數字化的濾波器  。

舉個例子，現在假設要設計一個低通濾波器，截止頻率為  ，采樣頻率為  。

step1：選擇歸一化的濾波器  ；

step2：數字截止頻率為10Hz；

step3：對應的模擬截止頻率為：  ；

step4：將  中s進行替換： ， 。得到：  ，其中  ;

step5: 用  進行替換，得到 

於是就得到了我們想要的濾波器。

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七、如何利用MATLAB進行IIR設計

前面手動設計IIR濾波器是為了告訴大家基本的設計原理，實際工程中我們一般采用計算機來進行設計，快速、准確、可視化程度高，下面我們就來看看如何利用MATLAB來設計IIR濾波器。

最常用的函數就是butter函數，具體語法為：

[a b]= butter(N,Wn,'low');

a和b就是就是IIR濾波器分子和分母對應的系數：

 為截止頻率，low代表低通濾波器。

我們來驗證一下我們前面設計的IIR濾波器對不對。根據定義  ，MATLAB中輸入[a b]= butter(1,0.4,'low')，其計算結果為：

a =[0.4208 0.4208]，b =[1.0000 -0.1584]

可見，是一致的（因為手算位數少，會有一定的計算誤差）。

可能有的童鞋就納悶了，在設計FIR時，用的函數是fir1、fir2等，一看就是FIR濾波器，為啥到IIR函數的名字就叫butter了，難道第一個設計IIR的人喜歡吃黃油？——哈哈，當然不是，其實butter是butterworth（巴特沃斯）的簡寫，那butterworth又是什么呢？——看拼寫像是一個人名，沒錯，這就是一個人名。那為啥用這個名字呢？

還記得我們一開始選取的標准低通濾波器的函數嗎？

穩態時可用  ，則

即

這其實是一類函數的特殊形式：

其中  為濾波器的階次，  為截止頻率，當N=1時時就是我們選擇的那個標准的一節慣性環節，感興趣的童鞋可以試一下這類函數的性質。這類函數最早是由一個叫butterworth的人提出的，因此，基於這類函數而衍生的濾波器就是butterworth濾波器，MATLAB就用butter函數來致敬butterworth。

當然基准函數的獲取，除了butterworth的方法，還有其他的方法，他們的特點分別為：

• Butterworth（巴特沃斯）濾波器：濾波器具有單調下降的幅頻特性；
• Chebyshev（切比雪夫）濾波器：幅頻特性在銅帶或阻帶內有波動，可提高選擇性；大約有3/4通帶接近線性相位；
• Bessel（貝塞爾）濾波器：通帶內有較好的線性相位；
• Ellipse（橢圓）濾波器：較好的線性相位；大約有1/2通帶接近線性相位。

它們的幅值響應如下圖所示。

 

除了butter函數外，當然我們不需要記住其他的命令，當需要其他類型的IIR時，打開MATLAB，在命令行輸入：filterDesigner或者fdatool(老版MATLAB)，你就能看到如下界面：

通過勾勾選選就能設計IIR濾波器哦！