IIR滤波器设计【转】

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在文章如何快速设计一个FIR滤波器（一）以及如何快速设计一个FIR滤波器（二）等文章中，我们讨论了如何设计FIR（Finite Impulse Response Filter），FIR有很多优点，比如可以获得线性相位，不存在稳定性问题等，典型的FIR具有如下形式：

当  时幅值响应可以变得更为陡峭和理想，这样做的缺点就是需要采集更多的点进行计算，有时候这么做不太适用。因此工程上很多时候采用的是IIR（Infinite Impulse Response Filter）,IIR和FIR最大的区别就是输出不仅仅取决于输入，还取决于输出，IIR的标准形式如下：

IIR的设计和FIR有较大的区别，接下来我们就简单讨论一下，先从一个最常见的传递函数说起。

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一、从一个最常见的传递函数说起

惯性环节是我们碰到最多的传递函数了，其基本形式如下：

这个函数有什么特点呢？——无外乎就是从幅值响应和相位响应两个角度来看了。我们只考虑稳态时系统的响应，也就是令  ，于是传递函数形式可以改写为：

我们来简单的分析一下这个传递函数，很显然:

当  时，  ;

当  时，  ;

当  时，  ;

也就是说，  在低频是幅值响应大（没衰减，为1），频率增加到  时幅值响应下降到  ，当频率增加到  时，幅值响应降到了几乎为零，因此这个滤波器应该是一个低通滤波器。下面我们从数学的角度严谨的看一下，  幅值响应为：

相位响应为：

画个图更直观：

可见，这确是一个低通滤波器。我们知道截止频率的定义是当输出幅值响应下降到输入幅值的-3dB (  )，也就是0.707(也就是  )时对应的频率。因此，此处  就是截止频率。

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二、如何设计一个高通模拟滤波器

对于低通滤波器，令截止频率  ，形式为：  ，我们把这个称之为标准化的低通滤波器。那假如我们现在想设计一个高通滤波器  该怎么办呢？

同样令  ，我们的目标是：

当  时，  ;

当  时，  ;

当  时，  ;

很简单，将  即可，则传递函数变形为：

我们画个图看一下：

哈哈，果然是高通滤波器，而且截止频率就是  。

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三、如何设计一个带通模拟滤波器

那假如我们现在想设计一个带通滤波器该怎么办呢？

也就是我们想要：

当  时，  ;

当  时，  ;

当  时，  ;

当  时，  ;

 、  分别为带通的高和低端的频率。我们经过几次尝试以后呢发现，可以将标准形式的低通滤波器中  进行如下替换就可以实现：，其中  ,  。

则变换后的传递函数变为：

于是就得到了一个带通滤波器。

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四、如何设计一个带阻模拟滤波器

那假如我们现在想设计一个带阻滤波器该怎么办呢？

同样令  ，也就是我们想要：

当  时，  ;

当  时，  ;

当  时，  ;

当  时，  ;

同样，我们将标准形式的  进行变换， ，则可以得到：

画个图看看：

可见，确实得到了一个带阻滤波器。

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好了，需要停下来总结一下，我们有了一个标准的低通模拟滤波器  ，通过适当的变形，我们可以得到相应的高通、带通及带阻模拟滤波器。但是我们现在是要设计数字滤波器啊，这不是跑题了吗？——也不见得，按照我们的直觉，模拟滤波器和数字滤波器应该存在某种联系，如果我们找到了这个联系，就可以通过模拟滤波器来得到数字滤波器，问题就解决了。那这个联系是什么呢？——双线性变换。

五、什么是双线性变换

在如何理解离散傅里叶变换及Z变换一文中我们介绍了什么是z变换，以及z和s的关系：

 ，其中  为采样周期。这就是模拟(s)和数字(z)的联系，理论上可以直接用的，指数函数用起来比较复杂，不方便，我们需要一个更简单的形式。

稍微变一下形：

我们知道，函数  的泰勒展开为：

利用上式分别对分子和分母进行泰勒展开，并只取前两项：

稍微变一下形：

这就是双线性变换了，为啥这个名字呢？——因为它是用两个s域的线性函数的比值来逼近z的。我们稍微做一个推演，看看双线性变换代表什么。首先看一下z域的单位圆：

我们知道：

• 在s域，s=0时对应的是零频率，对应到z域就是z=1；
• 在s域，s=∞时对应的是无穷大频率f=∞。通过非线性变换，我们知道此时z=-1，对应的频率就是  ；

因此，双线性变换本质就是就是将s域（模拟量）无穷大的频率映射到z域的  ，因为根据香浓采样定理，数字信号的包含的最大分量的频率就是一半的采样频率，否则就会产生混叠。

可见，对于双线性变换而言，在s域的频率和z域对应的频率不同，发生了一定的弯曲，也就意味着截止频率在s域和在z域是不一样的，现在我们需要找到这种关系。

在z域，假设截止频率为  ，则

根据双线性变换计算得到的s为

此时s对应模拟的频率为：

所以

即

也就是说对于双线性变而言，模拟的截止频率和数字的截止频率是不同的，不同的原因是因为双线性变换是近似变换，不是准确换算。

值得一提的是，当  时，即采样频率远大于截止频率，可以得到

也就是模拟的截止频率和数字的截止频率差不多，为简单起见，也可以直接用数字的截止频率代替模拟的截止频率。

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六、如何设计数字滤波器

有了前面的铺垫，我们就可以进行数字的IIR滤波器设计了，基本有如下五个步骤：

1. 选择一个归一化的模拟滤波器  ；
2. 确定数字滤波器的截止频率，也就是响应为-3dB（幅值衰减为  ）是对应的频率；
3. 利用公式  计算对应的模拟截止频率；
4. 选择合适的变换，得到  比如对于低通滤波器：  其中  。
5. 在  中，用  进行替换，得到数字化的滤波器  。

举个例子，现在假设要设计一个低通滤波器，截止频率为  ，采样频率为  。

step1：选择归一化的滤波器  ；

step2：数字截止频率为10Hz；

step3：对应的模拟截止频率为：  ；

step4：将  中s进行替换： ， 。得到：  ，其中  ;

step5: 用  进行替换，得到 

于是就得到了我们想要的滤波器。

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七、如何利用MATLAB进行IIR设计

前面手动设计IIR滤波器是为了告诉大家基本的设计原理，实际工程中我们一般采用计算机来进行设计，快速、准确、可视化程度高，下面我们就来看看如何利用MATLAB来设计IIR滤波器。

最常用的函数就是butter函数，具体语法为：

[a b]= butter(N,Wn,'low');

a和b就是就是IIR滤波器分子和分母对应的系数：

 为截止频率，low代表低通滤波器。

我们来验证一下我们前面设计的IIR滤波器对不对。根据定义  ，MATLAB中输入[a b]= butter(1,0.4,'low')，其计算结果为：

a =[0.4208 0.4208]，b =[1.0000 -0.1584]

可见，是一致的（因为手算位数少，会有一定的计算误差）。

可能有的童鞋就纳闷了，在设计FIR时，用的函数是fir1、fir2等，一看就是FIR滤波器，为啥到IIR函数的名字就叫butter了，难道第一个设计IIR的人喜欢吃黄油？——哈哈，当然不是，其实butter是butterworth（巴特沃斯）的简写，那butterworth又是什么呢？——看拼写像是一个人名，没错，这就是一个人名。那为啥用这个名字呢？

还记得我们一开始选取的标准低通滤波器的函数吗？

稳态时可用  ，则

即

这其实是一类函数的特殊形式：

其中  为滤波器的阶次，  为截止频率，当N=1时时就是我们选择的那个标准的一节惯性环节，感兴趣的童鞋可以试一下这类函数的性质。这类函数最早是由一个叫butterworth的人提出的，因此，基于这类函数而衍生的滤波器就是butterworth滤波器，MATLAB就用butter函数来致敬butterworth。

当然基准函数的获取，除了butterworth的方法，还有其他的方法，他们的特点分别为：

• Butterworth（巴特沃斯）滤波器：滤波器具有单调下降的幅频特性；
• Chebyshev（切比雪夫）滤波器：幅频特性在铜带或阻带内有波动，可提高选择性；大约有3/4通带接近线性相位；
• Bessel（贝塞尔）滤波器：通带内有较好的线性相位；
• Ellipse（椭圆）滤波器：较好的线性相位；大约有1/2通带接近线性相位。

它们的幅值响应如下图所示。

 

除了butter函数外，当然我们不需要记住其他的命令，当需要其他类型的IIR时，打开MATLAB，在命令行输入：filterDesigner或者fdatool(老版MATLAB)，你就能看到如下界面：

通过勾勾选选就能设计IIR滤波器哦！