馬爾可夫預測
若某一系統在已知現在情況的條件下，系統未來情況只與現在有關，與歷史無直接關系，則稱描述這類隨機現象的數學模型為馬爾可夫模型（馬氏模型）。
時齊馬爾可夫鏈：
系統由狀態i轉移到狀態j的轉移概率只與時間間隔長短有關，與初始時刻無關。
狀態轉移概率矩陣及柯爾莫哥洛夫定理：
概率矩陣：
若系統在時刻 t0 處於狀態 i，經過 n 步轉移，在時刻 tn 處於狀態 j 。那么，對這種轉移的可能性的數量描述稱為 n 步轉移概率。記為:
\[P(x_{_{n}}=j|x_{_{0}}=i)=P_{_{ij}}^{(n)} \]
令
\[P^{(n)} = \left(\begin{array}{ccc} P{{_{11}}}^{(n)} & P{{_{12}}}^{(n)} & {\cdots} \quad P{{_{1N}}}^{(n)} \\ P{{_{21}}}^{(n)} & P{{_{22}}}^{(n)} & {\cdots} \quad P{{_{2N}}}^{(n)} \\ \quad {\cdots} \quad & \quad {\cdots} & \quad {\cdots} \\ P{{_{N1}}}^{(n)} & P{{_{N2}}}^{(n)} & {\cdots} \quad P{{_{NN}}}^{(n)} \end{array}\right) \]
為n部轉移概率矩陣。(\(P^{0}\)為初始分布行向量)
性質：
-
\[P^{(n)}=P^{(n-1)}P \]
-
\[P^{(n)}=P^{n} \]
轉移概率的漸進性質——極限概率分布
正則矩陣:
若存在正整數k，使得\(p^{k}\)的每一個元素都是正數，則稱該馬爾可夫鏈的轉移矩陣P是正則的。
馬克可夫鏈正則陣的性質：
- P有唯一的不動點向量W，W的每個分量為正，滿足WP=W；
- P的n次冪\(P^{n}\)隨n的增加趨近於矩陣V, V的每一行向量均等於不動點向量W。
馬爾可夫鏈預測法步驟：
- 划分預測對象可能出現的狀態；
- 計算初始概率，由此計算一步狀態轉移概率；
- 計算多步狀態轉移概率；
- 根據狀態轉移概率進行預測。
實例：
eg：由於公路運輸的發展，大量的短途客流由鐵路轉向公路。歷年市場調查結果顯示，某鐵路局發現今年比上年相比有如下規律：原鐵路客流有85%仍由鐵路運輸，有15%轉由公路運輸，原公路運輸的客流有95%仍由公路運輸，有5%轉由鐵路運輸。已知去年公、鐵客運量合計為12000萬人，其中鐵路10000萬人，公路2000萬人。預測明年總客運量為18000萬人。運輸市場符合馬氏鏈模型假定。試預測明年鐵、公路客運市場占有率各是多少？客運量是多少？最后發展趨勢如何？
解：
-
計算去年鐵路、公路客運市場占有率
將旅客由鐵路運輸視為狀態1，由公路運輸視作狀態2，則鐵、公占有率就是處於兩種狀態的概率，分別記作\(a_1\),\(a_2\).
以去年作為初始狀態，則初始狀態概率向量:
\[A(0)=(a_{1}(0), a_{2}(0))=(0.83, 0.17) \] -
建立狀態轉移矩陣P
\[P=\left(\begin{array}{ccc} 0.85 & 0.15 \\ 0.05 & 0.95 \end{array}\right) \] -
預測明年鐵路，公路客運市場占有率
\[A(2)=(a_{1}(2), a_{2}(2))=A(0)P^2= (0.83, 0.17) \left(\begin{array}{ccc} 0.85 & 0.15 \\ 0.05 & 0.95 \end{array}\right)^2=(0.62,0.38) \] -
進后發展趨勢
\[\lim_{k\to \infty} P^{k}=\left(\begin{array}{ccc} 0.25 & 0.75 \\ 0.25 & 0.75 \end{array}\right) \]