预测方法——马尔可夫预测

马尔可夫预测

若某一系统在已知现在情况的条件下，系统未来情况只与现在有关，与历史无直接关系，则称描述这类随机现象的数学模型为马尔可夫模型（马氏模型）。
 
 

时齐马尔可夫链：

系统由状态i转移到状态j的转移概率只与时间间隔长短有关，与初始时刻无关。
 
 

状态转移概率矩阵及柯尔莫哥洛夫定理：

概率矩阵：

若系统在时刻 t0 处于状态 i，经过 n 步转移，在时刻 tn 处于状态 j 。那么，对这种转移的可能性的数量描述称为 n 步转移概率。记为:

\[P(x_{_{n}}=j|x_{_{0}}=i)=P_{_{ij}}^{(n)} \]

令

\[P^{(n)} = \left(\begin{array}{ccc} P{{_{11}}}^{(n)} & P{{_{12}}}^{(n)} & {\cdots} \quad P{{_{1N}}}^{(n)} \\ P{{_{21}}}^{(n)} & P{{_{22}}}^{(n)} & {\cdots} \quad P{{_{2N}}}^{(n)} \\ \quad {\cdots} \quad & \quad {\cdots} & \quad {\cdots} \\ P{{_{N1}}}^{(n)} & P{{_{N2}}}^{(n)} & {\cdots} \quad P{{_{NN}}}^{(n)} \end{array}\right) \]

为n部转移概率矩阵。(\(P^{0}\)为初始分布行向量)

性质：

1. \[P^{(n)}=P^{(n-1)}P \]

2. \[P^{(n)}=P^{n} \]

 
 

转移概率的渐进性质——极限概率分布

正则矩阵:

若存在正整数k，使得\(p^{k}\)的每一个元素都是正数，则称该马尔可夫链的转移矩阵P是正则的。

马克可夫链正则阵的性质：

1. P有唯一的不动点向量W，W的每个分量为正，满足WP=W；
2. P的n次幂\(P^{n}\)随n的增加趋近于矩阵V, V的每一行向量均等于不动点向量W。

 
 

马尔可夫链预测法步骤：

1. 划分预测对象可能出现的状态；
2. 计算初始概率，由此计算一步状态转移概率；
3. 计算多步状态转移概率；
4. 根据状态转移概率进行预测。

 
 

实例：

eg：由于公路运输的发展，大量的短途客流由铁路转向公路。历年市场调查结果显示，某铁路局发现今年比上年相比有如下规律：原铁路客流有85%仍由铁路运输，有15%转由公路运输，原公路运输的客流有95%仍由公路运输，有5%转由铁路运输。已知去年公、铁客运量合计为12000万人，其中铁路10000万人，公路2000万人。预测明年总客运量为18000万人。运输市场符合马氏链模型假定。试预测明年铁、公路客运市场占有率各是多少？客运量是多少？最后发展趋势如何？

解：

1. 计算去年铁路、公路客运市场占有率

   将旅客由铁路运输视为状态1，由公路运输视作状态2，则铁、公占有率就是处于两种状态的概率，分别记作\(a_1\),\(a_2\).

   以去年作为初始状态，则初始状态概率向量:

   \[A(0)=(a_{1}(0), a_{2}(0))=(0.83, 0.17) \]

2. 建立状态转移矩阵P

   \[P=\left(\begin{array}{ccc} 0.85 & 0.15 \\ 0.05 & 0.95 \end{array}\right) \]

3. 预测明年铁路，公路客运市场占有率

   \[A(2)=(a_{1}(2), a_{2}(2))=A(0)P^2= (0.83, 0.17) \left(\begin{array}{ccc} 0.85 & 0.15 \\ 0.05 & 0.95 \end{array}\right)^2=(0.62,0.38) \]

4. 进后发展趋势

   \[\lim_{k\to \infty} P^{k}=\left(\begin{array}{ccc} 0.25 & 0.75 \\ 0.25 & 0.75 \end{array}\right) \]

参考：https://www.cnblogs.com/cloudtj/articles/6854078.html#A1