PDF、PMF、CDF
1. 概念解釋
- PDF：概率密度函數（probability density function）, 在數學中，連續型隨機變量的概率密度函數（在不至於混淆時可以簡稱為密度函數）是一個描述這個隨機變量的輸出值，在某個確定的取值點附近的可能性的函數。
- PMF：概率質量函數（probability mass function), 在概率論中，概率質量函數是離散隨機變量在各特定取值上的概率。
- CDF：累積分布函數 (cumulative distribution function)，又叫分布函數，是概率密度函數的積分，能完整描述一個實隨機變量X的概率分布。
2. 數學表示
2.1 PDF
如果XX是連續型隨機變量，定義概率密度函數為$f_X(x)$，用PDF在某一區間上的積分來刻畫隨機變量落在這個區間中的概率，即
2.2 PMF
如果XX離散型隨機變量，定義概率質量函數為$f_X(x)$,PMF其實就是高中所學的離散型隨機變量的分布律,即
2.3 CDF
不管是什么類型（連續/離散/其他）的隨機變量，都可以定義它的累積分布函數，有時簡稱為分布函數。
-
對於連續型隨機變量，顯然有：
那么CDF就是PDF的積分，PDF就是CDF的導數。
-
對於離散型隨機變量，其CDF是分段函數，比如舉例中的擲硬幣隨機變量，它的CDF為:
Pareto（帕累托）分布
Survial function 生成函數
The survival function is also known as the survivor function[2] or reliability function.[3]
又稱 complementary cumulative distribution function.
其實就是1-CDF
Pareto distribution
- 注意形狀參數$\alpha$必須是正的！
Generalized Pareto distribution
https://en.wikipedia.org/wiki/Generalized_Pareto_distribution
- 注意：形狀參數（或者稱為尾部指數）$\xi\in(-\infty,+\infty)$！
因此，GP 分布是指數分布 (k = 0) 和帕累托分布 (k>0) 的廣義化。GP 將這兩個分布包括在更大的族中，因此可以實現連續的形狀范圍。
Matlab實現
利用廣義帕累托分布對尾數據建模
廣義帕累托 (GP) 分布是一種右偏態分布，使用形狀參數 k 和尺度參數 sigma 進行參數化。k 也稱為“尾部指數”參數，可以為正值、零或負值。
x = linspace(0,10,1000);
plot(x,gppdf(x,-.4,1),'-', x,gppdf(x,0,1),'-', x,gppdf(x,2,1),'-');
xlabel('x / sigma');
ylabel('Probability density');
legend({'k < 0' 'k = 0' 'k > 0'});
其他代碼見鏈接！