常系數差分方程
常系數差分方程的一些概念
一階常系數差分方程:\(y(n) + a y(n-1) = x(n)\)
二階常系數差分方程:\(y(n) + a_1 y(n-1) + a_2 y(n-2) = x(n)\)
\(N\)階常系數差分方程:\(\sum_{i=0}^{N}a_i y(n-i) = \sum_{i=0}^{N}b_i x(n-i)\)
解差分方程
通常我們會得到一個未知的差分方程,他的右邊是已經確定的,系數是常系數,左邊是未知的.
求解這個方程的操作就是解差分方程.
遞推法求常系數差分方程
例1:假如有一種細胞,它每一分鍾可以增殖出一個新細胞,但是這些在出現的第二分鍾開始他才能開始增殖.如果一開始只有一個細胞(當前還不能增殖),求第5分鍾有多少個細胞
\[設y(n)是第n分鍾的細胞數量\\ 那么\\ y(n)=2*y(n-2)+y(n-1)-y(n-2)\\ =y(n-2)+y(n-1)\\ 已知y(1)=1,y(2)=1,y(3)=2\\ y(4)=y(2)+y(3)=3\\ y(5)=y(3)+y(4)=5\\ 所以第五分鍾有5個細胞 \]
例2:假如有一種細胞,它每一分鍾可以增殖出一個新細胞,但是這些在出現的第二分鍾開始他才能開始增殖,而且只能增殖1次.如果一開始只有一個細胞(當前還不能增殖),求第7分鍾有多少個細胞
\[設y(n)是第n分鍾的細胞數量\\ 那么\\ y(n)=2*(y(n-2)-y(n-3))+y(n-1)-y(n-2)+y(n-3)\\ =y(n-1)+y(n-2)-y(n-3)\\ 已知y(1)=1,y(2)=1,y(3)=2,y(4)=2\\ 所以y(5)=3,y(6)=3,y(7)=4\\ 所以第七分鍾有4個細胞 \]
例3:已知線性因果系統的差分方程為\(y(n)-\frac{1}{2} y(n-1)=x(n)\),求其脈沖單位響應\(h(n)\)
\[當輸入為一個單位脈沖信號時\delta(n)時,脈沖響應信號就是h(n)\\ 所以h(n)=\delta(n)+\frac{1}{2}h(n-1)\\ h(0)=\delta(0)+\frac{1}{2}h(-1)=\frac{1}{2}(1+\frac{1}{2}h(-1))\\ h(1)=\delta(1)+\frac{1}{2}h(0)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}(1+\frac{1}{2}h(-1))\\ ...\\ 因為系統是因果的,所以在n<0的時候,h(n)都為0.\\ 所以,h(n)=\frac{1}{2^{n}}u(n)\\ \]