[算法分析]分支限界法

分支限界法：以廣度優先方式系統搜索問題的解

• 在問題的解空間樹中，按廣度優先策略，從根節點出發搜索解空間樹
• 求解目標：找出滿足約束條件的解
  • 可行解或最優解
• 搜索策略
  • 根據限界函數值，剔除那些導致不可行解或非最優解的子結點，使搜索過程僅限制在剩余的分支內進行
  • 適用於組合優化問題

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分支限界法的基本思想

分支限界法 VS 回溯法

• 相同點

  • 兩者在進行問題求解前，都需要完成解空間的定義和組織
  • 都是通過在解空間搜索來尋找問題的解

• 不同點

  • 搜索方式：
    • 回溯法->深度優先，
    • 分支限界法->廣度優先
  • 搜索策略：
    • 回溯法：根據剪枝函數，選擇下一個擴展結點並按深度優先方式進行搜索
    • 分支限界法：在擴展結點處，先產生其所有的子結點(分支)(所有結點只有一次機會成為當前擴展結點)，然后根據限界函數，確定哪些子結點將導致不可行解或非最優解，將這些子結點剔除，用剩下的子結點構造當前的活結點表，然后從該表中取一個結點作為當前擴展結點，並重復上述過程。

分支限界法的主要分類

• 根據從活結點表中選擇下一個擴展結點的方式分類
  • 隊列式FIFO分支限界法
  • 優先隊列分支限界法

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實例分析

背包問題

• 實例分析：

n=4的背包問題

重量w = [2, 3, 4，7]

價值p = [1, 3, 5，9]

限制重量b = 10

• 代價函數的設定(代價函數的設定僅會影響分支限界法的效率)

  v_k+1/w_k+1 是選擇后下一個單位重量價值最大的物品，代價函數即為計算最大有可能得到的價值。

  界即為當前最優的解，與代價函數進行比較進行裁剪

  

  

  預處理，先將物品按單位重量的價格從小到大依次排序

  

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小結

1. 分支限界法的基本思想

   1. 與回溯法的聯系與區別
   2. 兩種主要的分支限界法：隊列式、優先隊列式
   3. 代價函數與界的概念

2. 利用分支限界法求解問題的方法

    

   PS: 本節內容偏於設計，於《算法導論》中無本章節，用於補充