[算法分析]分支限界法

分支限界法：以广度优先方式系统搜索问题的解

• 在问题的解空间树中，按广度优先策略，从根节点出发搜索解空间树
• 求解目标：找出满足约束条件的解
  • 可行解或最优解
• 搜索策略
  • 根据限界函数值，剔除那些导致不可行解或非最优解的子结点，使搜索过程仅限制在剩余的分支内进行
  • 适用于组合优化问题

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分支限界法的基本思想

分支限界法 VS 回溯法

• 相同点

  • 两者在进行问题求解前，都需要完成解空间的定义和组织
  • 都是通过在解空间搜索来寻找问题的解

• 不同点

  • 搜索方式：
    • 回溯法->深度优先，
    • 分支限界法->广度优先
  • 搜索策略：
    • 回溯法：根据剪枝函数，选择下一个扩展结点并按深度优先方式进行搜索
    • 分支限界法：在扩展结点处，先产生其所有的子结点(分支)(所有结点只有一次机会成为当前扩展结点)，然后根据限界函数，确定哪些子结点将导致不可行解或非最优解，将这些子结点剔除，用剩下的子结点构造当前的活结点表，然后从该表中取一个结点作为当前扩展结点，并重复上述过程。

分支限界法的主要分类

• 根据从活结点表中选择下一个扩展结点的方式分类
  • 队列式FIFO分支限界法
  • 优先队列分支限界法

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实例分析

背包问题

• 实例分析：

n=4的背包问题

重量w = [2, 3, 4，7]

价值p = [1, 3, 5，9]

限制重量b = 10

• 代价函数的设定(代价函数的设定仅会影响分支限界法的效率)

  v_k+1/w_k+1 是选择后下一个单位重量价值最大的物品，代价函数即为计算最大有可能得到的价值。

  界即为当前最优的解，与代价函数进行比较进行裁剪

  

  

  预处理，先将物品按单位重量的价格从小到大依次排序

  

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小结

1. 分支限界法的基本思想

   1. 与回溯法的联系与区别
   2. 两种主要的分支限界法：队列式、优先队列式
   3. 代价函数与界的概念

2. 利用分支限界法求解问题的方法

    

   PS: 本节内容偏于设计，于《算法导论》中无本章节，用于补充