關於貝里相位，**
xiao di 的2010的綜述**也寫得很好，正確。還有周老師和陳老師的講義也寫得好。
關於量子絕熱定理、絕熱近似的條件：見曾謹言卷二，寫得好
注：有關規范變換為什么是在波函數上乘一個e指數以及AB效應及其解釋，見華中師范量子力學附件內容中貝里相位一章，寫得好。
4.1 布洛赫定理和能帶論
周期勢場中的本征函數：
其中
有和晶格R相同的周期：
。對應的能量本征值滿足
，是倒空間的周期函數，K是倒格矢。與指標n相聯系的能量連續變化，它具有波矢k，組成了一個能帶，能帶指標為n。對於給定的n的本征值在倒空間是周期的；所有
的不同的值位於倒格子的第一布里淵區。
有和晶格R相同的周期：
。對應的能量本征值滿足
，是倒空間的周期函數，K是倒格矢。與指標n相聯系的能量連續變化，它具有波矢k，組成了一個能帶，能帶指標為n。對於給定的n的本征值在倒空間是周期的；所有
的不同的值位於倒格子的第一布里淵區。
根據泡利不相容原理，電子先填滿最低的能量（熱統有證明費米面），因此組成了有限密度電子系統的費米面。占據態的最高能量稱為費米能級。在費米能級附近，如果一個能帶部分被占據，它處於金屬態。在這種情況，當一個外場加到系統中，場將使電子從平衡位置漂移，獲得一個非零的總動量去組成一個電流的流動。如果能帶完全填滿，在價帶和導帶之間有能隙，它是絕緣體。在這種情況一個弱外場不能迫使電子離開占據態，而是循環。這是能帶絕緣體的情況。如果能隙小於4電子伏特（粗略地），則
即使在絕對零度時完全填充的滿帶對電導率沒有貢獻，但
在有限溫度，電子很容易從價帶激發，是半導體。
4.2 貝里相位
的選擇不是唯一的。比如總是有
，即一個相位不確定。
在布里淵區中一組確定的相位選擇被稱為確定規范【2010】。對於一個時間反演不變的系統，總是存在一個連續規范穿過布里淵區。對一個時間反演破缺的
具有非零的陳數的
系統，不存在這樣的規范，所以連續規范必須被定義在布里淵區的塊中【2010，2011】。然而任何物理的可觀測量必須是規范獨立的。
考慮系統哈密頓量隨着參數變化
。我們對系統的循環演化很有興趣，
從
使得滿足
。
參數在參數空間
沿着閉合路徑C非常慢變化。為解決這個問題，我們先引入一個瞬時正交基矢，它是從在時刻t或每個
值的
的瞬時本征態中獲得的。
。我們對系統的循環演化很有興趣，
從
使得滿足
。
參數在參數空間
沿着閉合路徑C非常慢變化。為解決這個問題，我們先引入一個瞬時正交基矢，它是從在時刻t或每個
值的
的瞬時本征態中獲得的。
這個方程沒有完全決定
的基函數由於相位不確定性。然而我們能要求函數沿着閉合路徑是光滑和單值的。這個方程也沒有正確描述量子態的時間演化，相反，量子態應該被含時薛定諤方程決定：
的基函數由於相位不確定性。然而我們能要求函數沿着閉合路徑是光滑和單值的。這個方程也沒有正確描述量子態的時間演化，相反，量子態應該被含時薛定諤方程決定：
在絕熱近似中[4]，如果很多瞬時態中的其中
一個瞬時態
（通常我們選擇最低能量態或基態）
能
和其他瞬時態清楚地分開且時間演化很慢，則系統將保持在這個瞬時本征態。在這種情況，波函數能和
有關：
有關：
以及：
【（4.5）、（4.6）的證明：
由此（2.7）可以得到沈書（4.6）】
貝里相位可以表達為路徑積分：
其中
貝里聯絡（貝里矢勢）：
【（4.7）、(4.8)的證明：
】
除了由對
積分所確定的
動力學相位，態
將獲得一個額外的相位
在絕熱演化中。
如果我們做一個規范變換
它變成：
由（4.9）知：
是規范依賴的。
是規范依賴的。
【（ 4.9）證明 ：
】
因此，
將被改變
對於初始和最后的點。對於
系統
沿着閉合回路C的
循環演化且
，波函數的單值條件要求：
將被改變
對於初始和最后的點。對於
系統
沿着閉合回路C的
循環演化且
，波函數的單值條件要求：
m為整數。因此對於一個閉合路徑C，
是規范獨立的（因為由（4.11）知道，
改變量是整數乘2pi，與
的形式無關，故貝里相位是規范不變的）
，現在它被稱為
貝里相位
：
是規范獨立的（因為由（4.11）知道，
改變量是整數乘2pi，與
的形式無關，故貝里相位是規范不變的）
，現在它被稱為
貝里相位
：
【（4.11）證明：
貝里聯絡
明顯
是規范依賴的
（因為由（2.11）知，不同的規范變換對應不同的
）。在一個規范變換
下（其中
是一個光滑、單值函數）貝里聯絡以一種通常的方式變換：
）。在一個規范變換
下（其中
是一個光滑、單值函數）貝里聯絡以一種通常的方式變換：
因此，貝里相位將被改變
，其中T是路徑C在被完成之后的（長）時間。在貝里之前，很多人認為，通過選擇規范因子
，貝里相位能被抵消，因此貝里相位沒有很大關系。這是錯誤的。我們考慮參數空間的閉合路徑C，在長時間（T）之后，我們回到最初的參數
。對這樣的路徑，【我們選擇本征態基矢為單值的】這個事實意味着當我們回到最初的參數位置，基矢必須相同：
。規范變換必須保持這個性質（我的理解：【在規范變換之后也必須是單值的】這就是一個規定，（2.1）后的說明說了單值的規定），所以
，因此
，m為整數。因此，在一個閉合回路下，除非貝里相位是2pi乘以整數，否則貝里相位不能被抵消。】
，其中T是路徑C在被完成之后的（長）時間。在貝里之前，很多人認為，通過選擇規范因子
，貝里相位能被抵消，因此貝里相位沒有很大關系。這是錯誤的。我們考慮參數空間的閉合路徑C，在長時間（T）之后，我們回到最初的參數
。對這樣的路徑，【我們選擇本征態基矢為單值的】這個事實意味着當我們回到最初的參數位置，基矢必須相同：
。規范變換必須保持這個性質（我的理解：【在規范變換之后也必須是單值的】這就是一個規定，（2.1）后的說明說了單值的規定），所以
，因此
，m為整數。因此，在一個閉合回路下，除非貝里相位是2pi乘以整數，否則貝里相位不能被抵消。】
通過斯托克斯定理，貝里相
位能表達成一個面積分：
其中
貝里曲率定義為：
貝里曲率的分量：
其中用
表示
。
表示
。
【（4.14）（4.15）證明：
】
貝里曲率類似於電磁場中的磁場。利用基矢的完備性條件
和恆等式
，得到
貝里曲率的另一個表達式：
（4.18）
注意（4.18）中的
其實是應先算，應該加括號
其實是應先算，應該加括號
這樣。
（4.18）只有對哈密頓量求導，避免了對態求導，而且此公式不依賴於相位，計算機輸出的態可以直接代入（4.18）計算。貝里曲率也是規范獨立的。（這段話的證明見為知Bernevig書第二章2.2節筆記）
It is noted that the Berry curvature in (4.15) is expressed in term of one state
,
but that in (4.18) is expressed as a summation over all possible states. It reflects that
the Berry curvature describes the global properties of a system, NOT the property of
a single band.
,
but that in (4.18) is expressed as a summation over all possible states. It reflects that
the Berry curvature describes the global properties of a system, NOT the property of
a single band.
【（4.17）、（4.18）證明：
1、先證明
貝里相位是實數、貝里矢勢
的每個分量
是實數、
是純虛數
的證明：
的每個分量
是實數、
是純虛數
的證明：
注意划線的地方的說法ernern有一些問題，因為它其實是一個矢量，其實意思是說這個矢量的每個分量都是復數。（由此也可知，貝里矢勢、貝里聯絡是每個分量都是實數）
2、（4.17）的證明：引進了哈密頓量，然后類似勒朗德變換，將對態的導數變成對哈密頓量的導數。
3、最后證明（4.18）：
】
考慮兩能級系統作為例子。一般描述兩能級系統的哈密頓量的形式：
能量本征值為
（少了一個1/2），並且兩個能級在
交叉。參數空間中哈密頓量的梯度：
（少了一個1/2），並且兩個能級在
交叉。參數空間中哈密頓量的梯度：
我們發現貝里曲率有矢量形式：
（n為負時）
這個曲率能被視為一個由在
的
磁單極子激發的場。將貝里曲率對包含此磁單極子的球面的積分，得：
的
磁單極子激發的場。將貝里曲率對包含此磁單極子的球面的積分，得：
的散度有性質：
因此，一個點狀“磁單極子”位於
，它激發了貝里曲率。
，它激發了貝里曲率。
兩能級系統的三種規范以及沒有好的規范，見a short course 書39-40頁。
【
（4.19）、（4.20）證明：
（4.21）、（4.22）證明：
注意：上面的
（4.21）式
證明中說了選z軸平行於R，其實就是旋轉系統的坐標軸使得R位於z軸。上面（4.21）式雖然是R位於z軸的情況下得到的，但旋轉不變性意味着（4.21）式在R不位於z軸的一般情況也成立。旋轉不變性應該有論文證明了。（這兩句話在Bernvig書2.3.2節有）
（4.23）的證明可能需要像電磁學中證明電場的高斯定理一樣（所以要證明應查電磁學書），需要對任何閉合曲面都證明（4.22）式，從而由任意閉合曲面都成立的（4.22）式和散度的體積分等於面積分從而證明（4.23）。（4.23）式可能不重要，證明略。
】
在布洛赫能帶中，
貝里曲率
定義
為：
因為布里淵區在動量空間中有周期邊界條件，布里淵區中
兩個點是相同的，其中K是倒格矢，一個閉合路徑能被實現當
掃過整個布里淵區。在這種情況，穿過布里淵區的貝里相位變成：
兩個點是相同的，其中K是倒格矢，一個閉合路徑能被實現當
掃過整個布里淵區。在這種情況，穿過布里淵區的貝里相位變成：
（？）
以下從Bernvig書（2.23）開始的內容接沈順清的書：
由此式知道，類似點電荷電場公式，
對應的磁單極子
強度1/2.而
對
能帶，磁單極子有相反的強度-1/2.因此，我們發現參數空間的簡並點具有源和漏的作用。如果我們在包含磁單極子的球面上對貝里曲率積分，我們得到2pi，因此貝里
曲率在一個閉合流形上的積分等於2pi乘以里面包含的單極子的凈數量。
(如果我們有另一個簡並度點，它會是2。)【？不懂閉合流形】
對應的磁單極子
強度1/2.而
對
能帶，磁單極子有相反的強度-1/2.因此，我們發現參數空間的簡並點具有源和漏的作用。如果我們在包含磁單極子的球面上對貝里曲率積分，我們得到2pi，因此貝里
曲率在一個閉合流形上的積分等於2pi乘以里面包含的單極子的凈數量。
(如果我們有另一個簡並度點，它會是2。)【？不懂閉合流形】
此貝里曲率在二維閉合曲面上的積分是一個整數(以2pi為單位)。這個整數稱為
Chern數。【？這句話的證明與上一句話有關，還不懂】
2.3.2 使用哈密頓方法求兩能級系統
為了去真正理解一些東西，需要能去用不同的方法推導它。現在用一個規范不變的方法。
（少了一個1/2）。以上是對馮·諾依曼和維格納的一個舊定理的重述，該定理認為有必要改變三個參數，以使簡並偶然發生，而不是由於對稱性。在二維Bz中，其中兩個參數代表了在Bz中變化的晶格動量，我們只需要改變一個參數就可以使簡並發生。
在三維空間中，我們有三個動量在BZ中自己變化，狄拉克點是穩定的【？
以上兩句話
都不懂】。
書中直到（2.27）的內容見為知筆記沈書第四章，內容相同。
(2.27)
磁單極子位於簡並點R=0（在沈書的情況，R=0對應
)
。
是回路C對應的
對簡並點的
立體角。從（2.27）知：相位因子獨立於生成C的封閉曲面的選擇（即和封閉曲面的選擇無關），因為
只能通過4pi的倍數發生變化。
)
。
是回路C對應的
對簡並點的
立體角。從（2.27）知：相位因子獨立於生成C的封閉曲面的選擇（即和封閉曲面的選擇無關），因為
只能通過4pi的倍數發生變化。
【（2.27）證明：
】
【這里的+由（2.27）知，對應的貝里相位為pi，故相因子為-1】。注意邊界線的選擇是任意的：我們不必需要去挑選一個有相等能量的邊界線
(i.e., x
2
+ y
2
為常數）, 而我們能挑選任意的邊界線只要它是閉合的
【
？這句話不知道為什么，因為（2.27）對應
能級，所以我覺得閉合曲線應該對應一個等能線，但這里說不用對應，為什么】。
我們剛才是證明了二維無能隙狄拉克費米子的本征態在經過費米面時貝里相位等於pi【根據（2.27）確實】。
我們后面還會回到這里。
tuning 選擇；subtended 對應
2.4 磁場中的自旋 略
2.5 貝里相位能測量嗎
如果一個物理性質不能測量，則它在實驗上不是有趣的。貝里相位具有重要的可測量的結果——本書的全部主題在某種程度上都是基於Berry相的結果。 但是，提出一個不涉及
任何
在晶格上的電子的簡單實驗非常容易。 想象一下Berry的論文[35]中提出的以下實驗。 具有確定自旋態n的一束粒子被分開在兩條路徑中。 在一條路徑上，
恆定，而在另一條路徑上，
的大小恆定，但其方向圍在繞着閉合路徑C時緩慢變化，該路徑C對應着一個立體角
。 通過這樣的場的配置后，兩個粒子束在探測器處匯合。 由於能量
僅取決於B的大小，而B的大小都是相同的，因此兩個粒子束的動力學相因子相同。 但是，經歷了
變化的粒子束獲得了貝里相位。 衍射圖樣的強度為
恆定，而在另一條路徑上，
的大小恆定，但其方向圍在繞着閉合路徑C時緩慢變化，該路徑C對應着一個立體角
。 通過這樣的場的配置后，兩個粒子束在探測器處匯合。 由於能量
僅取決於B的大小，而B的大小都是相同的，因此兩個粒子束的動力學相因子相同。 但是，經歷了
變化的粒子束獲得了貝里相位。 衍射圖樣的強度為
隨着磁場緩慢地變化，
當
經過路徑C時，強度變化可以測量出來。
參考資料:
1.沈順清拓撲絕緣體書
2.汪德新量子力學書
3.bernevig拓撲絕緣體書
————本文由 初心如磐使命在肩！編輯