a short course書第3章 極化和貝里相位

3.1 The Rice-Mele Model
3.2 Wannier States in the Rice-Mele Model
3.2.1 Wannier態的定義性質
3.2.2 Wannier態是Bloch本征態的空間反演傅立葉變換
3.2.3 萬尼爾中心等同於貝里相位
3.2.4 使用投影位置算符的Wannier態
在N趨於無窮的熱力學極限下，投影位置算符 ${\hat{X}}_P$的本征態形成Wannier態。
3.3 空間反演對稱性和極化
3.3.1 由於反演對稱性的威爾遜圈的量子化
習題
此章有許多不懂

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能帶絕緣體的體極化bulk polarization是一個棘手的概念。中性分子的極化很容易用組成系統的正負電荷中心的差異來定義。當我們試圖將這個簡單的概念應用到能帶絕緣體的周期性體bulk上時(為簡單起見，假設正原子核是固定的和局域的)，我們會遇到復雜的問題。負電荷的中心應根據完全占據的價帶中的電荷密度來計算。然而，價帶中的所有能量本征態在bulk中都是離域的，因此在這樣一個狀態下每個電子的電荷中心是不明確的。然而，絕緣體是可極化的，並通過電荷的重新排列來響應外部電場，這對應於bulk中的(微小)電流。因此，應該有一種方法來定義體極化。
在本章中，我們將證明對能帶絕緣體，體極化如何能利用所謂的現代極化理論[23，27，28]來定義。電子對極化的貢獻是多體電子態的特性，多體電子態是【完全占據價帶的能量本征態的】斯萊特行列式。中心思想是使用不同的正交基來重寫相同的斯萊特行列式，該基由局域態組成，即所謂的Wannier態。然后，可以很容易地評估處於Wannier態的每個電子對電荷中心的貢獻，然后將其相加。
我們 討論最簡單有趣的情況，即一維雙能帶絕緣體，其具有一個空能帶和一個滿帶的情況，多能帶的情況留待后面討論。結果表明，Wannier態的電荷中心可以確定為布里淵區上滿帶的Berry相，也稱為Zak相[38]。
有關電子波函數中Berry相的更完整和非常教學法的介紹，我們請讀者參考Resta的一組課堂講稿[26]。

3.1 The Rice-Mele Model

我們在本章中使用的玩具模型是Rice-Mele模型，它是從第1章的SSH模型中通過添加額外的交錯格點勢(onsite potential)獲得的。N個晶胞的鏈上Rice-Mele模型的哈密頓量為

其中交錯格點勢 $u$，晶胞內部跳躍幅度v和晶胞間跳躍幅度w都被假定為實數。N=4個格點的鏈的Rice-Mele模型的哈密頓量矩陣為

1.（3.1）的解釋：在SSH模型中：這還不是體哈密頓量：

在此哈密頓量上加上交錯的格點勢u就得到（3.1），A原子上的格點勢為u，B原子上的格點勢為-u，這就是“交錯”的勢（這就是一個玩具模型，取這樣的交錯勢沒有為什么，是構造出來的），（3.1）中第三項的形式之所以能代表讓一個電子位於格點的能量是因為：見SSH模型、sunkai緊束縛模型、固體理論課一維鏈中哈密頓量的來源、跳躍項.md

2.(3.2)證明：完全類似為知SSH模型中這種哈密頓量矩陣形式的證明過程，沒時間，證明省略。

3.2 Wannier States in the Rice-Mele Model

能帶絕緣體的體能量本征態在整個系統中是離域的（類似固體物理中說的巡游電子）。我們以Rice-Mele模型的體哈密頓量為例，即N個晶胞構成的環的模型。與第1.2節SSH模型的情況一樣，能量本征態是調幅平面波布洛赫態，

其中

為簡單起見，我們從本征態中省略了指標1。 $|u(k)⟩$是體動量空間哈密頓量的本征態，

其本征值為.

rice-mele模型的計算過程完全類似SSH模型，我沒時間，沒算

布洛赫態 $|\mathrm{\Psi }(k)⟩$散布在整個鏈上。它們橫跨由投影算符定義的占據子空間

布洛赫態是調幅平面波，確實是散布在整個鏈。但什么是“由投影算符定義的占據子空間”？什么是子空間？這里是布洛赫態，而不是子空間的（這里的n是能帶指標），（3.6）為什么會說“子空間”？

每個布洛赫本征態 $|\mathrm{\Psi }(k)⟩$的相位可以隨意設置。這些相位的變化，即規范變換，

給出了一組同樣好的布洛赫態，對於 $k={\delta }_k,2{\delta }_k,\dots ,2\pi$，具有任意一組相位 $\alpha (k)\in \mathbb{R}$。利用這一自由度，原則上可以保證在 $N\to \mathrm{\infty }$的熱力學極限下， $|\mathrm{\Psi }(k)⟩$的分量（因為有 $|\mathrm{\Psi }(k_1)⟩$等）是k的光滑、連續的函數。然而，這個規范可能不容易通過數值方法獲得。因此，如果可能的話，我們更喜歡使用與規范無關的量，比如公式(3.6)中定義的占據子空間(occupied subspace )的投影算符（第一章貝里相位已經證明過投影算符是規范獨立的）。

為什么說是k的連續光滑函數？因為雖然k是離散的，根據（3.4），但在熱力學極限N趨於無窮，k近似就是連續的。但為什么通過這個規范變換就能使得 $|\mathrm{\Psi }(k)⟩$可以是k的連續光滑函數？

3.2.1 Wannier態的定義性質

Wannier態 $|w(j)⟩\in {\mathcal{H}}_{\text{external }}\otimes {\mathcal{H}}_{\text{internal }},$ with $j=1,\dots ,N,$由以下性質定義：

（3.8b）我覺得有些奇怪，為什么不是等於單位算符？難道萬尼爾態不是完備的？

此公式我也覺得奇怪，這里的|m>應該是原子軌道，不知道為什么這樣定義（3.8c）？我認為此式應該是根據（3.12）證明過程中得到的萬尼爾函數表達式：，根據此表達式就直接驗證了（3.8c）確實成立。

根據量子力學筆記本不確定關系一節知道： $⟨w(N/2)|(\hat{x}-N/2{)}^2|w(N/2)⟩$就是在萬尼爾態 $|w(N/2)⟩$時的x的分布寬度 $\mathrm{\Delta }x$的平方.

但為什么分布寬度的平方小於無窮就是局域的？因為當N趨於無窮時，鏈長趨於無窮，只要分布寬度是個有限值，則相對於鏈長的量綱來說就是局域的。但為什么讓N趨於無窮來進行說明?

with the addition in Eq. (3.8c) defined modulo N.

這句話我認為含義是：滿足（3.8c）這個平移性質的j的指標的數量就定義了N的模.

對於（3.8d）的要求，即局域化要求，使用位置算符，

並涉及熱力學極限N趨於無窮時的 $|w(j)⟩$的性質，此性質並不容易去精確地定義。

在這種一維情況下，它可以變成指數的局域化的更嚴格的要求，即對於某個有限的局域化長度 $\xi \in \mathbb{R}$，有.

這個關於局域化的討論不懂，沒時間
（3.9）證明：

3.2.2 Wannier態是Bloch本征態的空間反演傅立葉變換

由於布洛赫定理，所有能量本征態不僅在正則基 $|m,\alpha ⟩$有平面波形式，其中 $\alpha =A、B$，而且在Wannier基中都有平面波形式，

其中 $\alpha (k)$是某相位因子。

我認為“ $|m,\alpha ⟩$有平面波形式”說法是錯誤的，應該是中的才是平面波形式。
（3.10）類似SSH模型中的（1.8）：

這段話完全不懂，算了。

從（3.10），傅里葉空間反演變換得到萬尼爾態：

由於規范函數 $\alpha (k)$不受約束，因此該形式仍有很大的自由度。這種自由度可以用來構建盡可能局域化的Wannier態。例如，如果找到一個光滑規范，其中在N趨於無窮的極限中， $e^{i\alpha (k)}|\mathrm{\Psi }(k)⟩$的分量是k的解析函數，那么由於傅立葉變換的性質，我們可以得到Wannier態的指數局域化。(更一般地，如果不連續首先出現在 $|\mathrm{\Psi }(k)⟩$的第 $l$階導數中，則Wannier態的分量 $|w(j)⟩$按 $⟨m\mid w(j)⟩\propto |m-j{|}^{-l-1}$衰減.）

沒時間證明萬尼爾態的局域化。省略。

3.2.3 萬尼爾中心等同於貝里相位

我們首先假設我們找到了一個連續的規范。Wannier態|w(0)>的中心可以用以下公式計算

（3.12）證明:

我們發現Wannier態|w(j)>的中心是

這個方程中的第二項表明，萬尼爾態的中心是等間距的，彼此之間有一個晶胞的距離。（3.13）的第一項，即貝里相位再除以 $2\pi$。此貝里相位是滿帶穿越布里淵區的貝里相位，參看(2.53)： ${\gamma }_n(\mathcal{C})={\oint }_{\mathcal{C}}i⟨n(\mathbf{R})\mid {\mathrm{\nabla }}_{\mathbf{R}}n(\mathbf{R})⟩d\mathbf{R}$.（3.13）的第一項對應於對應於每個Wannier狀態的均勻位移相同的量。

（3.13）證明：以后再說

我們將體電極化定義為跨越(span)布里淵區的【滿帶的Berry相位】，即公式(3.13)中的第一項，

雖然我們上面推導的方法是直觀的，但這仍然需要被證明這是一個一致的定義。從第二章可以清楚地看出，規范變換只能將體電極化改變一個整數。我們將在第五章中清楚地證明，這種極化在准絕熱過程中的變化正確地再現了體電流。

“規范變換只能將體電極化改變一個整數”其實並不能從第二章貝里相位看出來，我寫了一個此結論的證明：

得證。
此證明唯一的漏洞就是：我不知道為什么利用規范變換這一自由度可以保證在N趨於無窮的極限時， $|\psi (k)>$是k的光滑連續函數？即我不知道為什么（3.7）下面這一段話是為什么？

3.2.4 使用投影位置算符的Wannier態

一種數值上穩定、規范不變的尋找緊密局域化( tightly localized)的Wannier態集合的方式是使用幺正位置算符[28]，

這個算符很有用，因為它完全尊重環的周期性邊界條件。 $\hat{X}$的本征系統是由本征值為 $e^{i{\delta }_{k}m}$的局域在晶胞m中的本征態組成的。因此，我們可以將處於態 $|\mathrm{\Psi }⟩$時的位置的期望值與【 $\hat{X}$期望值】的相位相關聯，

（3.16）

這個公式作者沒有解釋，我試了也沒有證明出來（3.16），作者的PPT中寫：

此公式的原因有時間再查[1，28]

（3.16）中可能少了一個 $Im$符號？或者沒少？

此對數的實數部分能攜帶有關局域化程度的信息[1，28]。

這句話的理解應見[1,28]和量子光學中對相位算符的討論，沒時間

為了得到Wannier態，我們將幺正位置算符限制在滿帶上，定義

其中投影算符 $\hat{P}$的表達式見（3.6）： $\hat{P}=\underset{k\in BZ}{\sum }|\mathrm{\Psi }(k)⟩⟨\mathrm{\Psi }(k)|$.

在N趨於無窮的熱力學極限下，投影位置算符 ${\hat{X}}_P$的本征態形成Wannier態。

下面我們將說明，在N趨於無窮的熱力學極限下，投影位置算符 ${\hat{X}}_P$的本征態形成Wannier態。
為簡化算符 ${\hat{X}}_P$，考慮

where ${\delta }_{k+{\delta }_k,k^{\mathrm{\prime }}}=1$ if $k^{\mathrm{\prime }}=k+{\delta }_k,$ and 0 otherwise.

其中 $\frac{1}{N}\underset{m=0}{\overset{N-1}{\sum }}{e}^{im(k+{\delta }_k-k^{\mathrm{\prime }})}={\delta }_{k+{\delta }_k,k^{\mathrm{\prime }}}$的證明：根據為知傅里葉變換

知道：
得證。

利用（3.18）、（3.17），有：

利用(3.19)的直接推論，我們可以求出 ${\hat{X}}_P$的本征值。即，將 ${\hat{X}}_P$提高到N次方，給出了一個算符，此算符正比於占據子空間中的單位算符:

其中比例常數 $W\in \mathbb{C}$，其為：

這就是威爾遜圈。

請注意，W非常類似於離散Berry相位，不同之處在於 $|W|\le 1$(盡管 $\underset{N\to \mathrm{\infty }}{lim}|W|=1$)。

1.(3.20)證明：此式的證明是一個數學問題，我想了很久才證出來（開始想了很久沒證出來，過了一天冷靜下來之后又想了一小時才證出來），其實遇到問題不應該怕，不應該讓情緒主導你，而應該冷靜下來，仔細分析、慢慢思考有什么解決方法？這樣才是解決問題之道！

注意（3.21）威爾遜圈的表達式中每個內積實際上都是一個數，可以任意換位置。
注意：以上（3.20）的證明過程中用到了rice-mele模型情況下，在N很大時，有布洛赫波函數的正交歸一條件，此公式的證明：

2.“ $|W|\le 1$(盡管 $\underset{N\to \mathrm{\infty }}{lim}|W|=1$)”這個結論的證明：

因此， ${\hat{X}}_P$的本征值譜由W的N次方根組成，

從（3.22）的證明過程知道， ${\lambda }_n$的另一個表達式：
（3.22.1）

從此知道：這些本征值具有相同的大小： $\left|{\lambda }_n\right|=\sqrt[N]{|W|}<1$，且相位 $n{\delta }_k-\frac{\varphi }{N}$位於區間 $[0,2\pi )$，各本征值的相位間隔排列，間隔為 ${\delta }_k$.          （3.22.2）

1.（3.22）證明：
先證明： $W=|W|e^{-i\varphi }$，其中 $\varphi$是貝里相位。（作者ppt中有此結論）
根據（3.21）： $W=⟨u(2\pi )\mid u(2\pi -{\delta }_k)⟩\cdot \dots \cdot ⟨u\left(2{\delta }_k\right)\mid u\left({\delta }_k\right)⟩⟨u\left({\delta }_k\right)\mid u(2\pi )⟩$和環路的離散貝里相位的表達式：

相比可以知道 $\varphi$是貝里相位。

此結論得證。
再根據數理方法書：

知道：

2.結論(3.22.2)證明：

因為根據（3.17）有： $⟨w(j)\left|{\hat{X}}_P\right|w(j)⟩=⟨w(j)|\hat{X}|w(j)⟩$，並根據（3.16）： $⟨x⟩=\frac{N}{2\pi }log⟨\mathrm{\Psi }|\hat{X}|\mathrm{\Psi }⟩$，故知道： ${\lambda }_n$的大小告訴我們Wannier態的局域化性質，相位可以解釋為位置期望值。

$⟨w(j)\left|{\hat{X}}_P\right|w(j)⟩=⟨w(j)|\hat{X}|w(j)⟩$中的 $|w(j)>$取為 ${\hat{X}}_P$的本征態，其與萬尼爾態有關系，見后面。
則：（此證明也有點疑問，（3.16）公式不一定對？（3.16）中有沒有 $Im$？還應該查，以后再說）

但“ ${\lambda }_n$的大小告訴我們Wannier態的局域化性質”此結論我不知道怎么證明，可能與（3.8d）有關？沒時間

現在我們檢查 ${\hat{X}}_P$的本征態是否滿足Wannier態所要求的性質：式(3.8)。上面的關系 ${\left({\hat{X}}_P\right)}^N=W\hat{P}$表明 ${\hat{X}}_P$的本征矢量跨越在占據子空間(span the occupied subspace)。引入平移算符： $\hat{S}=\underset{m=1}{\overset{N}{\sum }}|(mmodN)+1⟩⟨m|\otimes {\mathbb{I}}_{\text{internal }}$。本征態通過平移聯系在一起，因為

然而，本征態的正交性存在一個問題。我們將局域化的證明留給讀者作為練習。

(3.23)等沒時間證明。

對是否滿足（3.8a）的說明：
投影的幺正位置算符 ${\hat{X}}_P$只在N趨於無窮的熱力學極限下才是正規算符(Normal operator)。對於有限的N，它不是正規的，即它不能與它的伴隨(adjoint)對易，因此它的本征態也不形成正交基。這可以看作是一個離散化錯誤。

沒時間。
Normal operator
abstract: In mathematics, especially functional analysis, a normal operator on a complex Hilbert space H is a continuous linear operator N : H → H that commutes with its hermitian adjoint N*, that is:.
其中：Hermitian adjoint厄米共軛

abstract: In mathematics, specifically in functional analysis, each linear operator on a Hilbert space has a corresponding adjoint operator. Adjoints of operators generalize conjugate transposes of square matrices to (possibly) infinite-dimensional situations.

綜上， ${\hat{X}}_P$的本征態滿足除了（3.8a）正交條件之外的Wannier態所要求的性質：式(3.8)
${\hat{X}}_P$的本征值 ${\lambda }_n$的大小告訴我們Wannier態的局域化性質，相位可以解釋為位置期望值
${\hat{X}}_P$的本征值譜中的這些本征值具有相同的大小： $\left|{\lambda }_n\right|=\sqrt[N]{|W|}<1$，且相位 $n{\delta }_k-\frac{\varphi }{N}$位於區間 $[0,2\pi )$，各本征值的相位間隔排列，間隔為 ${\delta }_k$

3.3 空間反演對稱性和極化

對於單分量、連續變量波函數 $\mathrm{\Psi }(r)$，關於原點的反演(也稱為宇稱)具有效果： $\mathrm{\Psi }(r)\to \hat{\mathrm{\Pi }}\mathrm{\Psi }(r)=\mathrm{\Psi }(-r)$。表示反演的幺正算符 $\hat{\mathrm{\Pi }}$的兩個重要性質是： ${\hat{\mathrm{\Pi }}}^2=1,$ and $\hat{\mathrm{\Pi }}{e}^{ikr}=e^{-ikr}$。如果 $\hat{\mathrm{\Pi }}\hat{H}{\hat{\mathrm{\Pi }}}^{†}=\hat{H}$，則哈密頓量具有反演對稱性。
在將空間反演算符推廣到具有內部自由度的固體物理晶格模型時，我們必須記住兩件事。
首先，在有限樣本中，邊緣一定會破壞關於原點的反演對稱性(除了非常精細調整的樣本制備)。因此，我們只關心體bulk的空間反演對稱性，並要求它使得 $|k⟩\to |-k⟩$。
其次，我們所考慮的晶格模型的每個晶胞也有其內部的希爾伯特空間，其會受到空間反演的影響。這包括自旋分量(未受空間反演影響)和軌道類型的變量(受空間反演影響)。一般而言，我們用一個幺正算符 $\hat{\pi }$表示空間反演對內部Hilbert空間的作用。 $\hat{\pi }$獨立於晶胞。
在晶格模型的體哈密頓量上，空間反演算符用 $\hat{\mathrm{\Pi }}$表示。它作用於 ${\mathcal{H}}_{\text{internal }}$的算符用 $\hat{\pi }$表示。

（3.27）是因為兩次作用，不變。但為什么 ${\hat{\pi }}^{†}=\hat{\pi }$？因為空間反演算符是厄米算符，原因見曾書量子力學卷一5.4.3節。

空間反演算符對體動量空間哈密頓量的作用可以使用其定義讀出，

（3.28）怎么證明？以后再說

如果存在幺正、厄米算符 $\hat{\pi }$作用於內部空間，以至於

則晶格模型在體上具有空間反演對稱性。

根據為知時間反演對稱性、空間反演對稱性對布洛赫波、貝里矢勢、貝里曲率的作用中曾書卷二（7.2.11）、（7.2.32）知道，應該是證明了 $\hat{\mathrm{\Pi }}\hat{H}{\hat{\mathrm{\Pi }}}^{-1}=\hat{H}$則就證明了系統有空間反演對稱性。但是，這里證明了 $\hat{\mathrm{\Pi }}\hat{H}(k){\hat{\mathrm{\Pi }}}^{-1}=\hat{H}(k)$，為什么這說明了系統有空間反演對稱性？沒時間

如果所有被占據的能帶在能量上都可以絕熱分離開，那么我們可以聚焦在一個能帶上，用波函數 $|u(k)⟩$，空間反演對稱性會有一個簡單的結果。-k和k處的本征態由下式關聯

對於波數 $k=0$ and $k=\pi$，即所謂的時間空間反演不變動量點（見changmingze的講義），這意味着它們是具有確定的宇稱的態，

不會證明，沒時間

3.3.1 由於反演對稱性的威爾遜圈的量子化

現在我們重寫空間反演對稱一維哈密頓量的能帶的Wilson圈W，假設我們有一個離散化成2M個k狀態，用 $j=-M+1,\dots ,M$標記，為

我們使用公式(3.31)，其形式為

空間反演對稱的一維絕緣體能帶的Wilson圈W只能取值±1。我們以M=3時為例說明這一點。

關於威爾遜圈的陳述可以使用公式(3.14)翻譯為體極化。空間反演對稱的一維絕緣體的每個能帶對體極化有0或1/2的貢獻。

根據和
可以知道（3.36）第一行確實是威爾遜圈的表達式。

（3.36）、（3.37）沒時間證。

威爾遜圈類似離散貝里相位。這樣就可以和（3.14）建立聯系？

”空間反演對稱的一維絕緣體的每個能帶對體極化有0或1/2的貢獻"怎么證？

習題

此章有許多不懂