##a short course書第2章貝里相位

本文轉載自查看原文 2021-02-26 20:15 545 拓撲絕緣體

a short course 第2章貝里相位

a short course 第2章貝里相位
1.1 離散情況
1.1.1兩個量子態的相對相位與規范有關
1.1.2 Berry相位：沿着閉合環路的相對相位與規范無關
1.1.3貝里通量：元格的規范獨立的對貝里相位的貢獻
1.1.4 陳數是一個面上的完全Berry通量
1.2 連續情況
1.2.1 貝里聯絡（貝里矢勢）
1.2.2 貝里相位
1.2.3 貝里曲率是貝里通量密度
態流形的光滑性
貝里相位和貝里曲率
一個特殊情況：通常的斯托克斯定理成立時（也即|Ψ(R)>在開曲面F的鄰域中是光滑的特殊情況）
三維參數空間的情況
1.2.4 陳數是Berry曲率的積分
一個絕緣體的一個能帶的陳數在以下意義上是一個拓撲不變量
1.3 Berry相與絕熱動力學
1.4 Berry曲率的Berry公式
1.5 例子：兩能級系統的貝里相位
1.5.1 沒有連續全局規范
1.5.2 計算貝里曲率和貝里相位
1.6 在兩能帶模型中確定陳數的圖示方法
1.6.1 陳數是曲面與視線相交的個數重要，有時間再學
1.6.2 陳數是表面上的斯格明子數
1.7 總結
習題
參考文獻
1.8 此節我的問題
1.連續情況的陳數公式比離散情況的公式多了一個負號，不知道為什么？
2.”一個絕緣體的一個能帶的陳數在以下意義上是一個拓撲不變量“的注釋中有一個問題

TOC
為了描述拓撲能帶絕緣體的理論，我們將使用絕熱相的語言。在這一章中，我們回顧了一些基本概念：Berry相、Berry曲率和Chern數。我們在量子力學中進一步描述了Berry相與絕熱動力學之間的關系。最后，我們用一個兩級系統作為一個簡單的例子來說明這些概念。關於教學介紹，我們建議讀者參考Berry的原始論文[4]，以及“美國物理學雜志”的論文[11，8]。對於固體物理的應用，我們將主要建立在Resta的講稿[14]和評論論文[18]的基礎上。

1.1 離散情況

我們從關於希爾伯特空間中態的相對相位的簡單問題開始。

1.1.1兩個量子態的相對相位與規范有關

在量子力學中，物理系統的狀態由希爾伯特空間中的矢量表示，直到乘以復相因子(等價類，矢量射線)。我們把這個乘法稱為規范變換，它改變了矢量|Ψ>，
規范變換：

換句話說，狀態的相位依賴於規范，因此是不可觀測的。

規范依賴性也使得兩態的相對相位不確定。考慮兩種可能的系統狀態，向量|Ψ1>和|Ψ2>是非正交的， ${⟨ Ψ_{1} ∣ Ψ ⟩}_{2} \neq 0$ 。我們可以嘗試將它們的相對相位γ12定義為

其中arg(z)表示復數z的相位，規定為arg(z)∈(−π，π]。顯然，相對相位γ12滿足（1.3）（此式重要）

然而，相對相位在局域規范變換下並不是不變的，

根據（1.3）可以知道。

1.1.2 Berry相位：沿着閉合環路的相對相位與規范無關

圖1.1：離散量子態的Berry相位、Berry通量和Berry曲率。(A)由N=3個狀態組成的回路L的貝里相位 $γ_{L}$ 由相對相位γ12、γ23、γ31定義。(B)定義在態的格子上的環的Berry相可以表示為【該環所包圍的元格】的Berry相 $F_{1, 1}$ and $F_{2, 1}$ 之和。元格貝里相位 $F_{n, m}$ 也稱為貝里通量。

三個或更多狀態的相對相位具有規范不變的含義，這可能會讓人感到驚訝---我們稱之為離散Berry相。取希爾伯特空間中的N≥3個態， $Ψ_{j} ⟩,$ with $j = 1, 2, \dots, N,$ with $⟨ Ψ_{j} ∣ Ψ_{j + 1} ⟩ \neq 0$ for all $j$ 。沿着這一系列態的循環（loop)，如圖1.1所示，我們將循環的Berry相位定義為

（1.6）確實成立，注意第一個等號好像說明： $γ_{L} = γ_{12} + γ_{23} + \dots + γ_{N 1}$ ，但其實此式不一定對，因為此式可以超出[−π，π)，而(1.6)的對循環的貝里相位的定義中有arg，是限制在[−π，π)中。可以見（1.16）的注釋就知道。）
在（1.6）的第一個等號式子中代入（1.3），即得證第二個等號。

為了表明上面定義的Berry相位是規范不變的，我們用規范不變的投影算符重寫它。對於由|Ψ>表示的量子態，表示該態的規范不變東西是投影算符，

上面定義的Berry相位僅使用規范不變投影算符重寫為環路中的狀態，

證明：

盡管Berry相不是某個算符的期望值，但它是一個規范不變量，因此，它可能具有直接的物理意義。我們會發現這樣的意義，但首先，我們想要對它的行為有更多的直覺。

1.1.3貝里通量：元格的規范獨立的對貝里相位的貢獻

考慮一個量子態的希爾伯特空間，以及一個有限的二維直角格子，它的點被標記為n，m∈Z，1≤n≤N和1≤m≤M。分配一個希爾伯特空間的量子態 $| Ψ_{n, m} ⟩$ 到每個格點。假設你想知道環路L圍繞這個集合的Berry相位：離散情況，環路的貝里相位：

注意在圖1.1中格子指標n和m，是行指標在后面，列指標在前面，n是列指標，m是行指標！故根據圖（b)就可以知道（1.9）成立。

如圖1.1所示。雖然Berry相是一個規范不變量，但根據上面的公式（1.9）計算它需要將許多依賴於規范的復數相乘。另一個計算貝里相位的方法：利用(1.8)，將規范獨立的矩陣相乘，然后求跡。

有一種方法可以將循環的Berry相位的計算分解為與規范無關的復數的乘積。對於網格上的每個元格(基本正方形)，每個元格用n,m標記，其中n，m是這個元格的左下角的格點坐標，我們使用圍繞其邊界的相對相位之和來定義【元格的Berry通量 $F_{n, m}$ 】:

for $n = 1, \dots, N$ and $m = 1, \dots, M$ .

（1.10）好像是：
(1.10.2)，但其實不是，原因見（1.16）的注釋！

請注意，Berry通量本身就是Berry相位，因此是規范不變的。或者，我們也可以寫

在（1.10）中代入（1.3）即得證。

現在考慮所有元格相位因子 $e^{- i F_{n m}}$ 的乘積，

第二個等號是根據(1.10.2)得到的。多或少 $2 π$ 的整數倍對（1.12）這個指數表達式無影響。

格子的每個內邊由兩塊元格共享，因此在乘積中出現兩次。然而，由於我們固定了元格相位的方向，這兩個貢獻總是相互復共軛，並相互抵消。因此，公式(1.12)右側的指數簡化為公式(1.9)中出現的指數，這意味着

相互抵消指的是：（1.12）中的求和：中會出現圖（b)中的抵消，因為對（1.3）：取復共軛就會發現 $γ_{12} = - γ_{21}$ ，故抵消。最后只有整個NxM的格子的邊緣有貢獻，故公式(1.12)右側的指數簡化為公式(1.9)中出現的指數。
（1.13）證明：將（1.9）代入(1.12)即得證。

這一結果使人想起連接開曲面上矢量場的旋度積分和沿曲面邊界的矢量場的線積分的Stokes定理（旋面線）。在公式(1.13)中，相對相位之和，即Berry相位 $γ_{L}$ ，起到線積分的作用，而Berry通量的兩倍和起到面積分的作用。與斯托克斯定理相比，有一個重要的區別，即不能保證【總Berry通量】和Berry相位相等：式(1.13)僅說明它們相等或相差2π倍整數。

1.1.4 陳數是一個面上的完全Berry通量

考慮如上所述排列在網格上的希爾伯特空間中的狀態|Ψn，m>，其中n，m∈Z，1≤n≤N，1≤m≤M，但是現在假設這個網格在輪胎面上。我們使用與(1.11)中相同的定義來定義每個元格的Berry通量，但是現在用n modN+1代替n+1，用m modM+1代替m+1。
所有元格的Berry通量相位因子的乘積現在是1，

（1.14）證明：可以應用與公式(1.13)相同的推導，但現在每條邊都是內部邊，因此對乘積的所有貢獻都被取消。>故（1.12）中的求和：等於0，故（1.14）得證。

與我們的結構相關的陳數Q是通過形成閉合輪胎面的所有元格的Berry通量之和來定義的：

陳數Q是通過規范不變的Berry通量來定義的，這一事實確保了陳數Q本身是規范不變的。此外，取(1.14)的arg，就證明了陳數Q是整數。

值得更深入地研究一下陳數的離散公式。我們可以定義改進的貝里通量 ${\tilde{F}}_{n m}$ 為：

這個公式不是和貝里通量的定義（1.10）一樣嗎？但其實有差別：根據復變函數，（1.10）中的arg是取輻角的主值，argz的范圍是[−π，π)。故區別是貝里通量 $F_{n m}$ （1.10）算出的結果是限制在[−π，π)，而改進的貝里通量 ${\tilde{F}}_{n m}$ 可以超出[−π，π). 即：
如果對於某個n，m，我們有−π≤ ${\tilde{F}}_{n m}$ <π，則 ${\tilde{F}}_{n m} = F_{n m}$ 。但是， ${\tilde{F}}_{n m}$ 可以超出范圍[−π，π)：然后，因為對數取在公式(1.10)中，通過加2π的(正或負)整數倍會將 $F_{n m}$ 帶回[−π，π)。

由於每個邊緣在兩個相鄰的元格之間共享，所以所有元格上的修改的Berry通量的總和為零，

如果對於某個n，m，我們有−π≤ ${\tilde{F}}_{n m}$ <π，則 ${\tilde{F}}_{n m} = F_{n m}$ 。但是， ${\tilde{F}}_{n m}$ 可以超出范圍[−π，π)：然后，因為對數取在公式(1.10)中，通過加2π的(正或負)整數倍會將 $F_{n m}$ 帶回[−π，π)。在這種情況下，我們說第nm元格包含 $Q_{n m} \in Z$ 個旋渦，其中一個數 $Q_{n m}$ 定義為：

我們已經找到了一幅關於陳數的簡單圖片：陳數Q——一個封閉表面上所有元格的Berry通量之和——是這個表面上的渦數（漩渦的數目）。

雖然我們在這里證明了它是輪胎面的特例，但它的推導很容易推廣到所有可定向的閉曲面。我們把重點放在輪胎面上，因為這種結構可以作為一種非常有效的數值公式來離散化和計算二維絕緣體的(連續)陳數[7]，將在1.2.4節中定義。

1.2 連續情況

現在我們假設不是離散的狀態集 ${| Ψ_{j} ⟩}$ ，而是一個連續，|Ψ(R)>，其中 $R$ 是某個D維參數空間 $P$ 的元素。

1.2.1 貝里聯絡（貝里矢勢）

我們取一條光滑的有向曲線 $C$ ，即參數空間 $P$ 中的一條路徑，

我們假設|Ψ(R)>的所有分量都是光滑的，至少在曲線C的開鄰域內是光滑的。曲線C上兩個相鄰狀態之間的相對相位，對應於參數 $R$ 和 $R + d R$ ，是：

在 $d R \to 0$ 中獲得一階。

（1.21）證明:

故：

從（1.21）中定義Berry聯絡，

這里， $| \nabla_{R} Ψ (R) ⟩$ 是通過要求對每個希爾伯特空間向量|Φ>定義的，即

(1.22)中的第二個等式的證明是從范數守恆性出發， $\nabla_{R} ⟨ Ψ (R) ∣ Ψ (R) ⟩ = 0$ 。

第二個等號的證明見第二章貝里相位最終版我覺得benvig和沈書寫得不夠好，還應該學電子結構中的貝里相位（寫得好）、a short course書

我們已經看到，在離散情況下，兩態的相對相位不是規范不變的，Berry聯絡也不是規范不變的。在規范變換下，它變為

證明見第二章貝里相位最終版我覺得benvig和沈書寫得不夠好，還應該學電子結構中的貝里相位（寫得好）、a short course書

1.2.2 貝里相位

考慮參數空間中的一條閉合的有向曲線C，即一個環。環路的Berry相位定義為

閉合有向曲線的Berry相位是規范不變的，因為它可以解釋為規范不變的離散Berry相的極限情況，即(1.6)。

1.2.3 貝里曲率是貝里通量密度

與上面的離散情況一樣，我們想把規范不變的Berry相表示為規范不變量的面積分（見(1.13)）。這個量就是貝里曲率。類似於離散情況，我們考慮一個二維參數空間，為簡單起見，我們將參數記為x和y，在這個二維參數空間中取一個單連通區域F，該曲面的定向邊界曲線用∂F表示，並考慮與該邊界相對應的連續Berry相位。

態流形的光滑性

在將Berry相位與Berry曲率聯系起來之前，關於所考慮狀態的流形|Ψ(R)>的一個重要注記是有序的。從現在開始，我們考慮生活在我們的二維參數空間中的一種態的流形，它是光滑的，即映射 $\vec{R} \mapsto | Ψ (R) ⟩ ⟨ Ψ (R) |$ 是光滑的。重要的是，這個條件並不一定意味着函數 $R \mapsto | Ψ (R) ⟩$ (它是給定規范中的波函數)是光滑的。(有關進一步的討論和例子，請參見第1.5.1節)。然而，即使 $R \mapsto | Ψ (R) ⟩$ 在參數空間的一個點 $R_{0}$ 上不光滑，人們也總能找到另一種規范，其中波函數 $| Ψ^{'} (R) ⟩$ 是(i)局部光滑(在R0點上光滑)，以及(ii)局部生成與 $| Ψ (R) ⟩$ 相同的映射，即在R0的無窮小鄰域中有 $| Ψ^{'} (R) ⟩ ⟨ Ψ^{'} (R) | = | Ψ (R) ⟩ ⟨ Ψ (R)$ 。用量子力學微擾論可以給出支持后一種說法的直觀論據。取哈密頓函數 $\hat{H} (R) = - | Ψ (R) ⟩ ⟨ Ψ (R)$ ，在R0的無窮小鄰域中， $\hat{H} (R_{0} + Δ R) = \hat{H} (R_{0}) + Δ R \cdot (\nabla \hat{H}) (R_{0})$ 。根據一階微擾理論，后者的基態由下式給出：

其中態 $| Ψ_{n} (R_{0}) ⟩ (n = 2, 3, \dots, D)$ 與 $| Ψ_{n} (R_{0}) ⟩$ 一起構成希爾伯特空間的基。一方面，(1.26)定義了在R0中光滑的函數，因此滿足上述條件(i)。另一方面，由於 $| Ψ^{'} (R_{0} + Δ R) ⟩$ 是 $\hat{H} (R_{0} + Δ R)$ 的基態，所以也滿足條件(ii)。

沒時間

貝里相位和貝里曲率

現在回到我們最初的目標，試着把Berry相表示成規范不變量的曲面積分。我們首先將Berry相位與其離散的對應貝里相位聯系起來：
$γ (C) = lim_{Δ x, Δ y \to 0} γ_{\partial F}$ (1.27)
(1.27)左邊是連續情況的貝里相位，右邊是極限時離散情況的貝里相位。
其中，我們使用步長為∆x，∆y的正方形網格離散參數空間，並將積分表示為離散的Berry相位γ_{∂F}，其中，在無限精細網格的極限下，近似於∂F的回路。

然后，從公式(1.27)和公式(1.13)中的Stokes-型定理得到

其中，對nm求和是對形成開表面F的元格的總和。

（1.28）證明：根據（1.13）：知道：
離散情況環路的貝里相位除了（1.9）之外的另一個表達式：
$γ_{L} = - \arg \exp [- i \sum_{n = 1}^{N - 1} \sum_{m = 1}^{M - 1} F_{n m}]$ （1.13.2）

對（1.13）取arg即得證（1.13.2）。

和連續情況環路的貝里相位的定義：
和（1.27）知道：（1.28）左右兩邊指數的輻角主值都相等，則算出來的指數也應相等，故（1.28）得證。

此外，讓我們取一個波函數 $| Ψ^{'} (R) ⟩$ 和其相應的在第nm元格中光滑的貝里聯絡 $A^{'}$ （根據（1.22）就可以求出此貝里聯絡）；如果已經光滑，則這可以是|Ψ(R)>和A. 然后，由於Berry通量的規范不變性，我們有

其中， $F_{n m}^{'}$ 是對應於局部光滑規范的Berry通量。

$| Ψ^{'} (R) ⟩$ 是 $| Ψ (R) ⟩$ 進行了規范變換吧，見前一小節態流形的光滑性。

此外，在無限精細網格的極限下，有

（1.30）證明：因為離散情況元格的貝里通量 $F_{n m}^{'}$ 就是元格環路的貝里相位，根據
和就知道元格環路的貝里相位（1.30）。得證。

Berry聯絡在 $R_{n m} = (x_{n} + \frac{Δ x}{2}, y_{m} + \frac{Δ y}{2})$ 附近的泰勒展開式到一階，得：

因此，利用以下貝里曲率的定義：

我們得到的貝里曲率是一個規范不變的量，因為它是通過規范不變的Berry通量定義的，並且與Berry聯絡通過（1.33）相聯系：貝里曲率：

我們可以重新表述(1.31)式：第nm元格的貝里通量可以表示為元格上的貝里曲率與元格的表面積相乘。

將(1.29)和(1.31)代入(1.28)，得到：

這是結果(1.13)： $\exp [- i \sum_{n = 1}^{N - 1} \sum_{m = 1}^{M - 1} F_{n m}] = e^{- i γ_{L}}$ 的連續版本。等式(1.34)也可以改寫為

連續情況，環路的貝里相位：

根據（1.25）： $γ (C) = - \arg \exp [- i \oint_{C} A \cdot d R]$ 即得證。

一個特殊情況：通常的斯托克斯定理成立時（也即|Ψ(R)>在開曲面F的鄰域中是光滑的特殊情況）

通向比（1.34）更強的一個結果的捷徑被提供在當|Ψ(R)>在開曲面F的鄰域中是光滑的特殊情況下。然后，直接應用二維斯托克斯定理(注意這是參數R為二維的情況，（1.37）才是三維情況）

綜合（1.34）和（1.36），我們可以說，如果態的集合 $| Ψ (R) ⟩$ 在F的鄰域內光滑，Berry聯絡的線積分等於Berry曲率的面積分，但在其他情況下它們可能相差2π的整數倍。

（1.34）的成立就並沒有要求態的集合是光滑的，這就是所謂的”其他情況“。故根據（1.34）知道：此時，Berry聯絡的線積分與Berry曲率的面積分可能相差2π的整數倍。

三維參數空間的情況

我們簡要討論了三維參數空間的情況。這在兩級系統的背景中將特別有用。從三維參數空間中二維開曲面F上的規范|Ψ(R)>在F的鄰域內光滑的情況出發，直接應用三維斯托克斯定理將A的線積分轉化為A的旋度的曲面積分，從而得到

其中Berry曲率定義為：

它是規范不變的，就像在二維情況下一樣。即使|Ψ(R)>在F上不光滑，以下公式成立：環路的貝里相位：

這類似於二維結果（1.34）（1.35）。

進一步注意，固定邊界曲線∂F的Berry相位 $γ (\partial F)$ 不僅是規范不變的，而且對於嵌入在三維中的二維曲面F的連續變形也是不變的，只要Berry曲率沿這路線處處是光滑的。

我寫的：在三維參數空間中二維開曲面F上的規范|Ψ(R)>在F的鄰域內光滑的情況下，因為根據（1.39），貝里曲率的線積分與貝里相位有關。而線積分要算下去，Berry曲率沿這路線處處是光滑的，否則不能用斯托克斯定理，這是高數中斯托克斯定理的要求：

我們還注意到，雖然我們在這里使用了三維符號，但是上述結果可以推廣到參數空間的任何維度。貝里聯絡和Berry曲率的符號A和B表明它們非常類似於矢量勢和磁場。這是一個有用的類比，例如，來自定義(1.38)的 $\nabla_{R} B = 0$ （梯度不能旋）。然而，並不是在每個貝里曲率為非零的問題中都有物理磁場(physical magnetic field)。

物理磁場是什么意思？不知道

1.2.4 陳數是Berry曲率的積分

在離散情況下，我們將Chern數定義為位於在輪胎面(或任何其他可定向閉合曲面)上的正方形格子的Berry通量之和。這里，我們取一個具有輪胎面的拓撲結構的連續參數空間。其動機是代表固體晶體材料的二維晶格的布里淵區。布里淵區具有輪胎面拓撲，因為動量矢量 $(k_{x}, k_{y}), (k_{x} + 2 π, k_{y})$ 和 $(k_{x}, k_{y} + 2 π)$ 是等價的。
很自然地，在連續情況，陳數的的定義中，Berry通量的總和被Berry曲率的表面積分所代替：

證明：根據離散情況陳數：

在（1.15）中代入：

即可以知道（1.40），不過這里連續情況的陳數多定義了一個負號。

由於這可以解釋為離散陳數的一個連續極限，它繼承了后者的性質：連續情況的陳數是一個規范不變整數。

為了以后的參考，讓我們把計算二維晶體中電子能帶的陳氏數所用的符號定下來。為了簡單起見，考慮一下正方形晶格，它也有一個正方形的布里淵區。我們的參數空間P現在是二維布里淵區，具有如上所述的輪胎面拓撲。這些參數是動量矢量 $k$ 的笛卡爾分量kx，ky，∈[−π，π)，電子能帶和相應的電子波函數可以從體動量空間哈密頓量 $\hat{H} (k_{x}, k_{y})$ 得到（原因可以見SSH模型一章的推導過程）。后者定義了薛定諤方程

其中n=1，2，......是能帶指數，它的值的個數和我們晶格模型內部自由度的希爾伯特空間的維數一樣多（為什么？與固體物理或第二章SSH模型有關？算了，沒時間）。請注意，只有在該能帶與其他能帶之間有能隙隔開的情況下，定義第n個能帶的Berry聯絡、Berry曲率和Chern數才是有可能的。

根據一般定義(1.22)，第n個能帶的貝里聯絡為

第n個能帶的陳數，與(1.40)和(1.33)相對應，為：

電子能帶結構理論的某些近似提供了可以解析地進行對角化的【低維動量空間哈密頓量】，從而允許對電子能帶的陳數進行解析推導。然而，更常見的情況是，電子波函數是在布里淵區(kx，ky)這些點的有限分辨率網格（finite resolution frid)上通過數值技術獲得的。在這種情況下，仍然可以使用其定義的離散版本(1.15)來有效地計算所選能帶的陳數。

但是連續情況的陳數公式比離散情況的公式多了一個負號，不知道為什么？

一個絕緣體的一個能帶的陳數在以下意義上是一個拓撲不變量

一個絕緣體的一個能帶的陳數在以下意義上是一個拓撲不變量。可以設想，描述晶格上電子的哈密頓量是絕熱形變的，也就是說，在第n個帶與其他帶之間的能隙保持打開的情況下，哈密頓量是連續形變的。在這種情況下，Berry曲率連續變化，因此它對布里淵區的積分(即Chern數)不能改變，因為后者的值被限制為整數。

但是陳數為什么不能跳躍性地從一個整數變成另一個陳數從而改變？是因為根據（1.43），當貝里曲率變化很小很小，其對布里淵區的積分也不可能變化一個整數這么多嗎？但是我覺得當貝里曲率連續絕熱變化很多時，會不會陳數能變化一個整數？可能是在絕熱變化不是很多情況下以上結論才成立？不知道，以后再說，這個問題重要

如果晶體哈密頓量的形變使得將第n個帶與相鄰帶分開的一些能隙閉合並重新打開，即哈密頓量的形變不是絕熱的，那么陳數可能會改變。從這個意義上說，對於二維晶格模型，陳數是一個類似於一維SSH模型的纏繞數的拓撲不變量。

一維模型：纏繞數；二維模型：陳數

1.3 Berry相與絕熱動力學

在大多數感興趣的物理情況下，我們感興趣的幾何特征(Berry相位)的態的集合是某些哈密頓ˆH的本征態。取一個具有D個實參數的物理系統，這些參數被聚集成一個形式矢量R=(R1，R2，.。。。，Rd)。哈密頓量是參數的光滑函數ˆH(R)，至少在感興趣的區域。我們根據能量En(R)來對哈密頓量的本征態進行排序，

我們稱本征態集合|n(R)>為快照基。
快照基的定義涉及規范固定，即指定每個|n(R)>的任意前置相位因子。這可能是一個棘手的問題：即使在存在【快照基的所有元素都是參數的光滑函數】的情況下，構建該規范也可能非常困難。

我們考慮以下問題。我們假設系統以R=R0為初始值，並且處於譜的離散部分的本征態|n(R0)>，即 $E_{n} (R) - E_{n - 1} (R)$ and $E_{n + 1} (R) - E_{n} (R)$ 為非零。因此，在時間t=0，我們有

現在假設在時間t=0→T期間參數向量 $R$ 緩慢變化：R變為R(t)，並且R(t)的值定義了一條連續的曲線C。此外，假設|n(R)>沿着曲線C光滑。系統的狀態根據依賴於時間的薛定諤方程演變：

此外，假設 $R$ 以這樣一種方式變化，即態|n(R(t))>附近的能隙在任何時候都保持有限。然后，我們可以選擇R(t)沿路徑C的變化率，使其與對應於能隙的頻率相比足夠慢，因此絕熱近似成立。在這種情況下，系統保持在能量本征態|n(R(t))>，僅獲得一個相位。我們現在要找出這個相位。

借助於絕熱近似，我們取一個擬設：

為了提高可讀性，在下面的內容中，我們經常省略t參數，這樣不會造成混淆。(1.47)的時間導數為：

為了說明我們所說的 $| \frac{d}{d t} n (R (t)) ⟩$ 是什么意思，我們用一個固定的基明確地寫出它，即R=R0的本征態組成的基：

我們發現，對於參數空間中由R(t)描繪的曲線 $C$ ，存在絕熱相位 $γ_{n} (C)$ ，其表示為

A related result is obtained after a similar derivation, if the parameter space of the $R$ points is omitted and the snapshot basis（快照基） $| n (t) ⟩$ is parametrized directly by the time variable. Then, the adiabatic phase is

公式(1.53)允許我們將本節的關鍵信息表述如下。考慮哈密頓量絕熱循環變化的情況，即當曲線C閉合時， $R (T) = R_{0}$ 。在這種情況下，絕熱相位為

因此，態在哈密頓量循環絕熱變化過程中獲得的絕熱相位相當於(is equivalent to)參數空間中表示哈密頓量路徑的閉合定向曲線所對應的Berry相位。
還有兩點要提出來。首先，從表面上看，我們的推導似乎做得太多了。似乎我們已經給出了薛定諤方程的精確解。我們在哪里使用了絕熱近似？事實上，(1.52)並不意味着(1.51)。有關更完整的推導(顯示非絕熱項是如何出現的)，請參見[9]（9是格里菲斯的量子力學書）。第二點是關於Berry相位的可測性。在實驗上檢測相位的通常方法是通過干涉裝置。這意味着將系統的波函數相干地分成兩個部分，通過 $R (t)$ 和 $R^{'} (t)$ 使它們在參數空間中經歷兩次絕熱旅行，然后將這兩個部分重新組合在一起。干涉僅來自態之間的重疊：如果 $| n (R (T)) ⟩ = | n (R^{'} (T)) ⟩$ ，則干涉最大，如果 $R (T) = R^{'} (T)$ ，則通常 $| n (R (T)) ⟩ = | n (R^{'} (T)) ⟩$ 被確保。絕熱相位 $γ_{n}$ and $γ_{n}^{'}$ 的差異是與閉合回路C相關的絕熱相位，閉合回路C是通過沿着t=0→T：R(t)前進，然后沿着t=T→0： $R^{'} (t)$ 返回而獲得的路徑。

這里第二點講的是AB效應實驗，見華中師范量子力學書。
此1.3節的推導過程見：第二章貝里相位最終版我覺得benvig和沈書寫得不夠好，還應該學電子結構中的貝里相位（寫得好）

1.4 Berry曲率的Berry公式

Berry給出了Berry曲率的兩個實用公式[4]。在這里，我們以與三維參數空間相對應的形式來表示它們。為了得到二維情形（其中Berry曲率B是標量），人們可以將后者與下面討論的三維情形的分量 $B_{z}$ 聯系起來；要推廣到高於3維的情形，請參見Berry的論文[4]中的討論。

Act with $\hat{H}$ towards the left in Eq. $(1.60),$ rearrange, substitute into $(1.57),$ and you obtain the second form of the Berry curvature, which is manifestly gauge invariant:

這表明，Berry曲率的單極子源，如果存在的話，就是簡並點。

（1.61）左邊B的角標n表明的是第n個能帶的貝里曲率，對應能量 $E_{n}$

式(1.61)的直接后果是，一個哈密頓量的所有本征態的Berry曲率之和為零。如果 $\hat{H} (R)$ 的所有譜在沿一條閉合曲線C時是離散的，則可以將所有能量本征態的Berry相位相加。

The last equation holds because $\vec{a} \times \vec{b} = - \vec{b} \times \vec{a}$ for any two vectors $\vec{a}, \vec{b}$ .

此1.4節推導過程見：第二章貝里相位最終版我覺得benvig和沈書寫得不夠好，還應該學電子結構中的貝里相位（寫得好）

1.5 例子：兩能級系統的貝里相位

到目前為止，大多數關於Berry相位和相關概念的討論都是相當籠統的。在本節中，我們通過一個最簡單的非平凡的例子來說明這些概念，即兩級系統。

1.5.1 沒有連續全局規范

考慮描述一個兩能級系統的哈密頓量：
(1.63)
.這里d扮演了前面幾節中參數R的作用。
將參數空間定義在去掉原點的空間是因為（1.63）解出來的能量本征值是 $\pm | d |$ ，故當d=0時，兩個能帶是相交的，為了避免這種能帶交疊(簡並），所以去掉原點。
本來一個2X2哈密頓量能寫成單位矩陣和泡利矩陣。這里缺少 $σ_{0}$ 是因為即使考慮它，它也在貝里相位中不起作用。

一個兩能帶系統哈密頓量能寫成（1.63）的原因：

這里圖中寫錯了，應為：

將 $d$ 化成極坐標，

本征方程：
（1.65）
對應的本征態：
（1.66）
對應的本征態：

以上兩個本征態的表達式只依賴於 $d$ 的方向中的和，且以上兩個本征態表達式對范圍都成立。

特別注意在科研計算中，不能隨便在(1.66）乘一個系數，比如乘$2e^{i\phi}sin\frac{\theta}{2}$，因為從下面證明過程中知，這樣會改變態的歸一化，導致最后算出來的結果不對！

解方程: 陳鄂生書：

相位因子 $α$ 和 $β$ 的確定對應於確定一個規范。
現在考慮一些規范的選擇。
選擇。

首先，選擇，用角標S表示此規范，得：
（1.67）

我們可以通過選擇另一個規范來解決在南極的這個問題。
（1.68）
而此公式在北極為：故此規范雖然在南極沒有問題，但在北極存在問題。

norm:模
我們找不到一個表現良好的規范是不用驚訝的：根本沒有表現良好的規范。在本章結束時，原因應該就清楚了。

1.5.2 計算貝里曲率和貝里相位

考慮上一節中定義的兩級系統。在參數空間R3{0}中取一條閉合曲線C。我們將在這條曲線上計算 $| - d ⟩$ 本征態的Berry相位 $γ_{-}$ ：

其中是邊界為環C的任何曲面。(或者，直接用固定規范(例如，上面介紹的三種規范中的一種)來計算Berry相位是一個值得的練習題。)

在這里，我們可以辨認出原點的點狀單極子源的場。然而，請注意，這個單極子作為電動力學的磁單極子存在於矢量 $d$ 的抽象空間中，而不是實空間中。

參數空間中閉合環路C的Berry相位，根據公式(1.74)，是單極場通過邊界為C的曲面S的通量。很容易證明，這是曲線所包含的立體角的一半。

換句話說，貝里相位是被C的圖像包圍的，投影到單位球的表面上，的面積的一半，如圖1.2所示。

投影到單位球的原因是因為立體角的定義和單位球有關。以后查立體角，沒時間

另一個能量本征態的Berry相呢？從方程。(1.75)，相應的Berry曲率B_{+}是通過倒置叉乘中因子的順序得到的：這反轉了叉積的符號。因此，基態和激發態的Berry相滿足這一關系

圖1.2：布洛赫球。一般的無跡有隙兩能級哈密頓量是泡利矩陣的線性組合，ˆH(d)=d·ˆσ。這可以用 $R^{3} ∖ {0}$ 中的一個點來標識。本征能由點到原點的距離給出，本征態僅取決於矢量d的方向，即，如子圖(a)和等式(1.64)中所定義的角度θ和ϕ。當閉合曲線C投影到Bloch球面上時，其Berry相位是該曲線所包圍的面積的一半。

1.6 在兩能帶模型中確定陳數的圖示方法

我們現在討論確定雙能帶模型中陳數的兩種有用的圖解方法，這兩種方法是最簡單有趣的情況。我們考慮一種形式的哈密頓量，

其中 $k$ 是閉曲面（即沒有邊界的二維可定向流形）上的參數。在最有用的例子中，M是輪胎的表面，但它也可以是例如球體的。我們用 $k$ 表示這個參數，因為在一些我們感興趣的情況下，這個參數將是一個二維hopping模型的波數，然后 $k$ 就生活在一個輪胎面形布里淵區。我們假設函數 $d (k)$ 是光滑的。
在哈密頓量ˆH(K)有能隙的情況下，它的兩個本征態定義了兩個定義良好的量子態流形、兩個能帶。我們將這兩個本征態表示為

能隙條件為：

1.6.1 陳數是曲面與視線相交的個數重要，有時間再學

確定陳數的一種方法是-類似於我們在第二章中對纏繞數所做的那樣-將視線交叉點計數到無窮遠。為此，考慮d向量空間R3{0}中的變形閉合曲面，該變形閉合曲面是通過使用函數d(k)映射閉合曲面M而獲得的。這是一個定向的表面：它的內部可以被塗成紅色，它的外部可以被塗成藍色。
|−I的陳數(使用Sect.。？？，of|U1(K)i)是B−(D)通過這個輪胎面的流量。我們在上面已經看到，B_−(D)是在原點d=0處的單極子的磁場。如果原點在輪胎面內，則該通量為+1。如果在圓環外，則為0。如果圓環內翻過來並包含原點，則通量為-1。輪胎面本身也可以相交，因此包含原點的次數不限。
計算輪胎面包含原點的次數的一種方法如下。取任何一條從原點到無窮遠的直線，計算它與圓環相交的次數，其中+1表示從內部相交，−1表示從外部相交。總和與直線的形狀無關，只要它從原點一直走到無窮遠即可。