等價關系的個數

等價關系 : 設 R 為集合 A 上的關系, 如果 R 是自反的, 對稱的, 傳遞的, 則稱 R 為 A 上的等價關系.

等價類 : 設 R 是集合 A 上的等價關系, 對任意的 a \(\in\) A , 令

\[[a]_R = \{x|x \in A \wedge\ aRx\} \]

則稱 [a]_R 為元素 a 關於 R 的等價類, 簡稱為 a 的等價類, 簡記為 [a] , 即

\[x\in[a]_R \Leftrightarrow <a,x>\in R \\ \]

所有等價類的集合稱為集合 A 關於 R 的商集, 記為 A/R , 即 \(A/R = \{[a]_R|a \in A\}\).

那么 |A| = n 的等價關系有多少個 ?

A 中每個元素都有自已的等價類, 它們的等價類可以相同, 於是, 求等價關系的總數可類比於以下問題 :

有 n 個球, r 個盒子, 在保證每個盒子都非空的條件下, 球有幾種放法.

可以用 dp 的集合划分思想考慮 :
\begin{aligned}
f[i][j] &: 表示在j個盒子放i個球所有合法選法的集合. \\
f[i][j] &= f[i - 1][j - 1] + j * f[i - 1][j].
\end{aligned}

代碼 :

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define IO ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0); cout.tie(0)
inline int lowbit(int x) { return x & (-x); }
#define ll long long
#define pb push_back
#define PII pair<int, int>
#define fi first
#define se second
#define inf 0x3f3f3f3f
const int N = 100;
int f[N][N];

int main() {
    IO;
    int n, ans = 0;
    cin >> n;
    
    for (int i = 1; i <= n; ++i) f[i][i] = f[i][1] = 1;

    for (int i = 2; i <= n; ++i)
        for (int j = 1; j <= i; ++j)
            f[i][j] = j * f[i - 1][j] + f[i - 1][j - 1];
             
    for (int i = 1; i <= n; ++i) ans += f[n][i];
    cout << ans;
    
    return 0;
    
}