同余關系 等價關系 同余關系的原型

 小結：

1、同余關系或簡稱同余是相容於某個代數運算的等價關系。

 

https://baike.baidu.com/item/同余關系

https://en.wikipedia.org/wiki/Congruence_relation

https://en.wikipedia.org/wiki/Equivalence_relation

https://baike.baidu.com/item/等價關系

 

 等價關系定義為：設R是非空集合A上的二元關系，若R是自反的、對稱的、傳遞的，則稱R是A上的等價關系。研究等價關系的目的在於將集合中的元素進行分類，選取每類的代表元素來降低問題的復雜度，如軟件測試時，可利用等價類來選擇測試用例。

定義1

設 R 是集合 A 上的一個二元關系，若R滿足：

自反性：∀ a ∈A, => (a, a) ∈ R

對稱性：(a, b) ∈R∧ a ≠ b => (b, a)∈R

傳遞性：(a, b)∈R,(b, c)∈R =>(a, c)∈R

則稱R是定義在A上的一個等價關系。設R是一個等價關系，若(a, b) ∈ R，則稱a等價於b，記作 a ~ b 。

 

例一：

同班同學關系、同鄉關系是等價關系。

平面幾何中三角形間的相似關系、全等關系都是等價關系。

平面幾何中直線間的平行關系是等價關系。

例二：

設A = {1, 4, 7}，定義A上的關系R如下：

R = { (a, b) | a, b ∈ A∧a ≡ b mod 3 }

其中a ≡ b mod 3叫做 a 與 b 模 3 同余，即 a 除以 3 的余數與 b 除以 3 的余數相等。不難驗證 R 為 A 上的等價關系。

設 f 是從 A 到 B 的一個函數，定義 A 上的關系 R ：aRb，當且僅當f(a) = f(b)，R 是 A 上的等價關系。

 

 

 同余關系的原型 

 

The prototypical example of a congruence relation is congruence modulo   on the set of integers. For a given positive integer , two integers  and  are called congruent modulo , written

if  is divisible by  (or equivalently if   and  have the same remainder when divided by ).

for example,  and  are congruent modulo ,

 

since  is a multiple of 10, or equivalently since both   and  have a remainder of  when divided by  .

Congruence modulo   (for a fixed  ) is compatible with both addition and multiplication on the integers. That is,

if

  and 

then

  and 

The corresponding addition and multiplication of equivalence classes is known as modular arithmetic. From the point of view of abstract algebra, congruence modulo   is a congruence relation on the ringof integers, and arithmetic modulo   occurs on the corresponding quotient ring.

 

元型例子是模算術：對於一個正整數n，兩個整數a和b被稱為同余模n，如果a − b整除於n（還有一個等價的條件是它們除以n得出同樣的余數）。

例如，5和11同余模3：

11 ≡ 5 (mod 3)

 

 

在 數學特別是 抽象代數中， 同余關系或簡稱 同余是相容於某個代數運算的 等價關系。

In  abstract algebra, a  congruence relation (or simply  congruence) is an  equivalence relation on an  algebraic structure (such as a  group,  ring, or  vector space) that is compatible with the structure in the sense that algebraic operations done with equivalent elements will yield equivalent elements. ^[1] Every congruence relation has a corresponding  quotient structure, whose elements are the  equivalence classes (or  congruence classes) for the relation. ^[2]