同余關系 等價關系 同余關系的原型


 小結:

1、同余關系或簡稱同余是相容於某個代數運算的等價關系

 

https://baike.baidu.com/item/同余關系

https://en.wikipedia.org/wiki/Congruence_relation

https://en.wikipedia.org/wiki/Equivalence_relation

https://baike.baidu.com/item/等價關系

 

 等價關系定義為:設R是非空集合A上的二元關系,若R是自反的、對稱的、傳遞的,則稱R是A上的等價關系。研究等價關系的目的在於將集合中的元素進行分類,選取每類的代表元素來降低問題的復雜度,如軟件測試時,可利用等價類來選擇測試用例。

定義1
設 R 是集合 A 上的一個二元關系,若R滿足:
自反性:∀ a ∈A, => (a, a) ∈ R
對稱性:(a, b) ∈R∧ a ≠ b => (b, a)∈R
傳遞性:(a, b)∈R,(b, c)∈R =>(a, c)∈R
則稱R是定義在A上的一個等價關系。設R是一個等價關系,若(a, b) ∈ R,則稱a等價於b,記作 a ~ b 。
 
例一:
同班同學關系、同鄉關系是等價關系。
平面幾何中三角形間的相似關系、全等關系都是等價關系。
平面幾何中直線間的平行關系是等價關系。
例二:
設A = {1, 4, 7},定義A上的關系R如下:
R = { (a, b) | a, b ∈ A∧a ≡ b mod 3 }
其中a ≡ b mod 3叫做 a 與 b 模 3 同余,即 a 除以 3 的余數與 b 除以 3 的余數相等。不難驗證 R 為 A 上的等價關系。
設 f 是從 A 到 B 的一個函數,定義 A 上的關系 R :aRb,當且僅當f(a) = f(b),R 是 A 上的等價關系。
 
 
 同余關系的原型 
 

The prototypical example of a congruence relation is congruence modulo  n on the set of integers. For a given positive integer n, two integers a and b are called congruent modulo n, written

a \equiv b \pmod{n}

if a-b is divisible by n (or equivalently if  a and b have the same remainder when divided by n).

for example, 37 and 57 are congruent modulo 10,

 37\equiv 57{\pmod  {10}}

since 37-57=-20 is a multiple of 10, or equivalently since both  37 and 57 have a remainder of 7 when divided by  10.

Congruence modulo  n (for a fixed  n) is compatible with both addition and multiplication on the integers. That is,

if

 {\displaystyle a_{1}\equiv a_{2}{\pmod {n}}} and {\displaystyle b_{1}\equiv b_{2}{\pmod {n}}}

then

 {\displaystyle a_{1}+b_{1}\equiv a_{2}+b_{2}{\pmod {n}}} and {\displaystyle a_{1}b_{1}\equiv a_{2}b_{2}{\pmod {n}}}

The corresponding addition and multiplication of equivalence classes is known as modular arithmetic. From the point of view of abstract algebra, congruence modulo  n is a congruence relation on the ringof integers, and arithmetic modulo  n occurs on the corresponding quotient ring.

 

元型例子是模算術:對於一個正整數n,兩個整數ab被稱為同余模n,如果a − b整除於n(還有一個等價的條件是它們除以n得出同樣的余數)。

例如,5和11同余模3:

11 ≡ 5 (mod 3)
 
 
數學特別是 抽象代數中, 同余關系或簡稱 同余是相容於某個代數運算的 等價關系
In  abstract algebra, a  congruence relation (or simply  congruence) is an  equivalence relation on an  algebraic structure (such as a  groupring, or  vector space) that is compatible with the structure in the sense that algebraic operations done with equivalent elements will yield equivalent elements. [1] Every congruence relation has a corresponding  quotient structure, whose elements are the  equivalence classes (or  congruence classes) for the relation. [2]
 


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