問題：兩條平行線會相交於一點
在歐氏幾何空間，同一平面的兩條平行線不能相交，這是我們都熟悉的一種場景。
然而，在透視空間里面，兩條平行線可以相交，例如：火車軌道隨着我們的視線越來越窄，最后兩條平行線
在無窮遠處交於一點。
軌道在遠處相交於一點，但是現實中軌道是不可能相交的
因此在透視空間里，存在兩條平行線相交
歐氏空間（或者笛卡爾空間）描述2D/3D幾何非常適合，但是這種方法卻不適合處理透視空間的問題（實際
上，歐氏幾何是透視幾何的一個子集合），二維笛卡爾坐標可以表示為（x，y），三維（x，y，z）
如果一個點在無窮遠處，這個點的坐標將會(∞,∞)，在歐氏空間，這變得沒有意義。平行線在透視空間的無窮
遠處交於一點，但是在歐氏空間卻不能，數學家發現了一種方式來解決這個問題。
方法：齊次坐標表示2D/3D坐標系
我們可以在一個2D笛卡爾坐標末尾加上一個額外的變量w來形成2D齊次坐標，因此，一個點(X,Y)在齊次坐標
里面變成了（x,y,w），並且有：X = x/w、Y = y/w
簡述：2D笛卡爾坐標（X，Y）、齊次坐標（x，y，w）
例如，笛卡爾坐標系下（1，2）的齊次坐標可以表示為（1，2，1），如果點（1，2）移動到無限遠處，在
笛卡爾坐標下它變為(∞,∞)，然后它的齊次坐標表示為（1，2，0），因為(1/0, 2/0) = (∞,∞)，我們可以不
用”∞"來表示一個無窮遠處的點了
PS：在齊次坐標中，不在使用笛卡爾坐標思維了，不然就無法理解它
齊次坐標轉笛卡爾坐標
轉化過程中……
你會發現(1, 2, 3), (2, 4, 6) 和(4, 8, 12)對應同一個歐氏幾何點 (1/3, 2/3)，任何非零實數的乘積，例如(1a, 2a,
3a) 對應 笛卡爾空間里面的(1/3, 2/3) 。因此，這些點是“齊次的”，因為它代表了笛卡爾坐標系里面的同一個點
齊次點具有下列幾個性質：（齊次坐標比笛卡爾坐標多一維）
1）如果實數a非零，則(x, y, x, w)和(ax, ay, az, aw)表示同一個點，類似於x/y = (ax)/(ay)。
2）三維空間點(x, y, z)的齊次點坐標為(x, y, z, 1.0)，二維平面點(x,y)的齊次坐標(x,y,0,1)。
3）當w不為零時，齊次點坐標(x, y, z, w)即三維空間點坐標(x/w, y/w, z/w)；當w為零時，齊次
點(x, y, z, 0)表示此點位於某方向的無窮遠處。
引進齊次坐標優點
1.它提供了用矩陣運算把二維、三維甚至高維空間中的一個點集從一個坐標系變換到另一個坐標系
的有效方法。
2.它可以表示無窮遠的點。n+1維的齊次坐標中如果h=0，實際上就表示了n維空間的一個無窮遠點。
對於齊次坐標[a,b,h]，保持a,b不變， 點沿直線 ax+by=0 逐漸走向無窮遠處的過程。
證明：兩條直線可以相交
我們知道在笛卡爾坐標系里面，該方程組無解，因為C ≠ D,如果C=D,兩條直線就相同了。
讓我們在透視空間里面，用齊次坐標x/w, y/w代替x ,y,
現在我們有一個解(x, y, 0)，兩條直線相交於(x, y, 0)，這個點在無窮遠處。
“齊次坐標表示是計算機圖形學的重要手段之一，它既能夠用來明確區分向量和點，同時也更易用於進行仿射（線性）幾何變換。”—— F.S. Hill, JR。
對於一個向量v以及基oabc，可以找到一組坐標(v1,v2,v3)，使得v = v1 a + v2 b + v3 c （1）
而對於一個點p，則可以找到一組坐標（p1,p2,p3），使得 p – o = p1 a + p2 b + p3 c （2）
從上面對向量和點的表達，我們可以看出為了在坐標系中表示一個點（如p），我們把點的位置看
作是對這個基的原點o所進行的一個位移，即一個向量——p – o（有的書中把這樣的向量叫做位置
向量——起始於坐標原點的特殊向量），我們在表達這個向量的同時用等價的方式表達出了
點p：p = o + p1 a + p2 b + p3 c (3)
(1)(3)是坐標系下表達一個向量和點的不同表達方式
這里可以看出，雖然都是用代數分量的形式表達向量和點，但表達一個點比一個向量需要額外
的信息。如果我寫出一個代數分量表達(1, 4, 7)，誰知道它是個向量還是個點！
我們現在把（1)(3）寫成矩陣的形式：
v = (v1 v2 v3 0) X (a b c o)
p = (p1 p2 p3 1) X (a b c o)
這里(a,b,c,o)是坐標基矩陣，右邊的列向量分別是向量v和點p在基下的坐標。這樣，向量
和點在同一個基下就有了不同的表達：3D向量的第4個代數分量是0，而3D點的第4個代數
分量是1。像這種這種用4個代數分量表示3D幾何概念的方式是一種齊次坐標表示。
這樣，上面的(1, 4, 7)如果寫成（1,4,7,0），它就是個向量；如果是(1,4,7,1)，它就是個點。
下面是如何在普通坐標(Ordinary Coordinate)和齊次坐標(Homogeneous Coordinate)之
間進行轉換：
(1)從普通坐標轉換成齊次坐標時
如果(x,y,z)是個點，則變為(x,y,z,1);
如果(x,y,z)是個向量，則變為(x,y,z,0)
(2)從齊次坐標轉換成普通坐標時
如果是(x,y,z,1)，則知道它是個點，變成(x,y,z);
如果是(x,y,z,0)，則知道它是個向量，仍然變成(x,y,z)
以上是通過齊次坐標來區分向量和點的方式。從中可以思考得知，對於平移T、旋轉R、
縮放S這3個最常見的仿射變換，平移變換只對於點才有意義，因為普通向量沒有位置
概念，只有大小和方向.
而旋轉和縮放對於向量和點都有意義，你可以用類似上面齊次表示來檢測。從中可以
看出，齊次坐標用於仿射變換非常方便。
此外，對於一個普通坐標的點P=(Px, Py, Pz)，有對應的一族齊次坐標(wPx, wPy,wPz,
w)，其中w不等於零。比如，P(1, 4, 7)的齊次坐標有(1, 4, 7, 1)、（2, 8, 14, 2）、
（-0.1, -0.4, -0.7, -0.1）等等。因此，如果把一個點從普通坐標變成齊次坐標，給x,y,z
乘上同一個非零數w，然后增加第4個分量w；如果把一個齊次坐標轉換成普通坐標，
把前三個坐標同時除以第4個坐標，然后去掉第4個分量。
由於齊次坐標使用了4個分量來表達3D概念，使得平移變換可以使用矩陣進行，從而如
F.S. Hill, JR所說，仿射（線性）變換的進行更加方便。由於圖形硬件已經普遍地支持
齊次坐標與矩陣乘法，因此更加促進了齊次坐標使用，使得它似乎成為圖形學中的一個標准。
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