问题：两条平行线会相交于一点
在欧氏几何空间，同一平面的两条平行线不能相交，这是我们都熟悉的一种场景。
然而，在透视空间里面，两条平行线可以相交，例如：火车轨道随着我们的视线越来越窄，最后两条平行线
在无穷远处交于一点。
轨道在远处相交于一点，但是现实中轨道是不可能相交的
因此在透视空间里，存在两条平行线相交
欧氏空间（或者笛卡尔空间）描述2D/3D几何非常适合，但是这种方法却不适合处理透视空间的问题（实际
上，欧氏几何是透视几何的一个子集合），二维笛卡尔坐标可以表示为（x，y），三维（x，y，z）
如果一个点在无穷远处，这个点的坐标将会(∞,∞)，在欧氏空间，这变得没有意义。平行线在透视空间的无穷
远处交于一点，但是在欧氏空间却不能，数学家发现了一种方式来解决这个问题。
方法：齐次坐标表示2D/3D坐标系
我们可以在一个2D笛卡尔坐标末尾加上一个额外的变量w来形成2D齐次坐标，因此，一个点(X,Y)在齐次坐标
里面变成了（x,y,w），并且有：X = x/w、Y = y/w
简述：2D笛卡尔坐标（X，Y）、齐次坐标（x，y，w）
例如，笛卡尔坐标系下（1，2）的齐次坐标可以表示为（1，2，1），如果点（1，2）移动到无限远处，在
笛卡尔坐标下它变为(∞,∞)，然后它的齐次坐标表示为（1，2，0），因为(1/0, 2/0) = (∞,∞)，我们可以不
用”∞"来表示一个无穷远处的点了
PS：在齐次坐标中，不在使用笛卡尔坐标思维了，不然就无法理解它
齐次坐标转笛卡尔坐标
转化过程中……
你会发现(1, 2, 3), (2, 4, 6) 和(4, 8, 12)对应同一个欧氏几何点 (1/3, 2/3)，任何非零实数的乘积，例如(1a, 2a,
3a) 对应 笛卡尔空间里面的(1/3, 2/3) 。因此，这些点是“齐次的”，因为它代表了笛卡尔坐标系里面的同一个点
齐次点具有下列几个性质：（齐次坐标比笛卡尔坐标多一维）
1）如果实数a非零，则(x, y, x, w)和(ax, ay, az, aw)表示同一个点，类似于x/y = (ax)/(ay)。
2）三维空间点(x, y, z)的齐次点坐标为(x, y, z, 1.0)，二维平面点(x,y)的齐次坐标(x,y,0,1)。
3）当w不为零时，齐次点坐标(x, y, z, w)即三维空间点坐标(x/w, y/w, z/w)；当w为零时，齐次
点(x, y, z, 0)表示此点位于某方向的无穷远处。
引进齐次坐标优点
1.它提供了用矩阵运算把二维、三维甚至高维空间中的一个点集从一个坐标系变换到另一个坐标系
的有效方法。
2.它可以表示无穷远的点。n+1维的齐次坐标中如果h=0，实际上就表示了n维空间的一个无穷远点。
对于齐次坐标[a,b,h]，保持a,b不变， 点沿直线 ax+by=0 逐渐走向无穷远处的过程。
证明：两条直线可以相交
我们知道在笛卡尔坐标系里面，该方程组无解，因为C ≠ D,如果C=D,两条直线就相同了。
让我们在透视空间里面，用齐次坐标x/w, y/w代替x ,y,
现在我们有一个解(x, y, 0)，两条直线相交于(x, y, 0)，这个点在无穷远处。
“齐次坐标表示是计算机图形学的重要手段之一，它既能够用来明确区分向量和点，同时也更易用于进行仿射（线性）几何变换。”—— F.S. Hill, JR。
对于一个向量v以及基oabc，可以找到一组坐标(v1,v2,v3)，使得v = v1 a + v2 b + v3 c （1）
而对于一个点p，则可以找到一组坐标（p1,p2,p3），使得 p – o = p1 a + p2 b + p3 c （2）
从上面对向量和点的表达，我们可以看出为了在坐标系中表示一个点（如p），我们把点的位置看
作是对这个基的原点o所进行的一个位移，即一个向量——p – o（有的书中把这样的向量叫做位置
向量——起始于坐标原点的特殊向量），我们在表达这个向量的同时用等价的方式表达出了
点p：p = o + p1 a + p2 b + p3 c (3)
(1)(3)是坐标系下表达一个向量和点的不同表达方式
这里可以看出，虽然都是用代数分量的形式表达向量和点，但表达一个点比一个向量需要额外
的信息。如果我写出一个代数分量表达(1, 4, 7)，谁知道它是个向量还是个点！
我们现在把（1)(3）写成矩阵的形式：
v = (v1 v2 v3 0) X (a b c o)
p = (p1 p2 p3 1) X (a b c o)
这里(a,b,c,o)是坐标基矩阵，右边的列向量分别是向量v和点p在基下的坐标。这样，向量
和点在同一个基下就有了不同的表达：3D向量的第4个代数分量是0，而3D点的第4个代数
分量是1。像这种这种用4个代数分量表示3D几何概念的方式是一种齐次坐标表示。
这样，上面的(1, 4, 7)如果写成（1,4,7,0），它就是个向量；如果是(1,4,7,1)，它就是个点。
下面是如何在普通坐标(Ordinary Coordinate)和齐次坐标(Homogeneous Coordinate)之
间进行转换：
(1)从普通坐标转换成齐次坐标时
如果(x,y,z)是个点，则变为(x,y,z,1);
如果(x,y,z)是个向量，则变为(x,y,z,0)
(2)从齐次坐标转换成普通坐标时
如果是(x,y,z,1)，则知道它是个点，变成(x,y,z);
如果是(x,y,z,0)，则知道它是个向量，仍然变成(x,y,z)
以上是通过齐次坐标来区分向量和点的方式。从中可以思考得知，对于平移T、旋转R、
缩放S这3个最常见的仿射变换，平移变换只对于点才有意义，因为普通向量没有位置
概念，只有大小和方向.
而旋转和缩放对于向量和点都有意义，你可以用类似上面齐次表示来检测。从中可以
看出，齐次坐标用于仿射变换非常方便。
此外，对于一个普通坐标的点P=(Px, Py, Pz)，有对应的一族齐次坐标(wPx, wPy,wPz,
w)，其中w不等于零。比如，P(1, 4, 7)的齐次坐标有(1, 4, 7, 1)、（2, 8, 14, 2）、
（-0.1, -0.4, -0.7, -0.1）等等。因此，如果把一个点从普通坐标变成齐次坐标，给x,y,z
乘上同一个非零数w，然后增加第4个分量w；如果把一个齐次坐标转换成普通坐标，
把前三个坐标同时除以第4个坐标，然后去掉第4个分量。
由于齐次坐标使用了4个分量来表达3D概念，使得平移变换可以使用矩阵进行，从而如
F.S. Hill, JR所说，仿射（线性）变换的进行更加方便。由于图形硬件已经普遍地支持
齐次坐标与矩阵乘法，因此更加促进了齐次坐标使用，使得它似乎成为图形学中的一个标准。
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