解析空中三角測量
一.連續法像對的相對定向
目標:
求解各模型點在各模型像空間輔助坐標系中的坐標 \(（X_{i},Y_{i},Z_{i}）\)
步驟:
1.用連續法相對定向求解相對定向元素 \(（b_{x}，b_{y}，b_{z}，φ，ω，κ）\)
- 計算初始值
\[b_{x}=給定值(200mm) \]\[b_{y} = b_{x} \cdot tan_{\mu} \approx b_{x} \cdot \mu \]\[b_{z} = b_{x} \cdot tan_{\nu} \approx b_{x} \cdot \nu \]\[\mu = \nu = \varphi = \kappa = \omega =0 \]
- 像空間坐標系轉像空間輔助坐標系
\[\begin{bmatrix} X_{1} \\ Y_{1} \\ Z_{1} \end{bmatrix} = R_{1} \begin{bmatrix} x_{1} \\ y_{1} \\ -f \end{bmatrix} \]\[\begin{bmatrix} X_{2} \\ Y_{2} \\ Z_{2} \end{bmatrix} = R_{2} \begin{bmatrix} x_{2} \\ y_{2} \\ -f \end{bmatrix} \]\[R_{1}=上個航帶的R_{2} \]\[R_{2}= \begin{bmatrix} cos_{\varphi}cos_{\kappa}-sin_{\varphi}sin_{\omega}sin_{\kappa} & -cos_{\varphi}sin_{\kappa}-sin_{\varphi}sin_{\omega}cos_{\kappa} & -sin_{\varphi}cos_{\omega} \\ cos_{\omega}sin_{\kappa} & cos_{\omega}cos_{\kappa} & -sin_{\omega} \\ sin_{\varphi}cos_{\kappa}+cos_{\varphi}sin_{\omega}sin_{\kappa} & -sin_{\varphi}sin_{\kappa}+cos_{\varphi}sin_{\omega}cos_{\kappa} & cos_{\varphi}cos_{\omega} \end{bmatrix} \]
- 計算投影系數
\[N_{1}=\frac {b_{x}Z_{2}-b_{z}X_{2}}{X_{1}Z_{2}-X_{2}Z_{1}} \]\[N_{2}=\frac {b_{x}Z_{1}-b_{z}X_{1}}{X_{1}Z_{2}-X_{2}Z_{1}} \]
- 計算A矩陣
\[\begin{cases} a=b_{x} \\ b=-\frac{Y_{2}}{Z_{2}}b_{x} \\ c=-\frac{X_{2}Y_{2}}{Z_{2}}N_{2} \\ d=-(Z_{2}+\frac{Y_{2}^{2}}{Z_{2}})N_{2} \\ e=X_{2}N_{2} \end{cases} \]\[A= \begin{bmatrix} a_{1} & b_{1} & c_{1} & d_{1} & e_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} & d_{2} & e_{2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{n} & b_{n} & c_{n} & d_{n} & e_{n} \end{bmatrix} \]
- 計算L矩陣
\[l=Q \]\[Q=N_{1}Y_{1}-N_{2}Y_{2}-b_{y} \]\[ L = \begin{bmatrix} l_{1} & l_{2} & \cdots & l_{n} \end{bmatrix} ^T \]
- 計算法方程
\[X= (A^TA)^{-1}A^TL \]
- 利用改正數計算結果，多次迭代,當改正數值小於某一限差\((0.3*10^{-4})\)后得到結果
2.用前方交會公式計算各模型點坐標。
通過像空間輔助坐標系坐標計算未改正模型點
\[\begin{cases} X_{M}=N_{1}X_{1} \\ Y_{M}=\frac{1}{2}[N_{1}Y_{1}+N_{2}Y_{2}+b_{y}] \\ Z_{M}=N_{1}Z_{1} \end{cases} \]
二.航帶網模型的建立
目標:
求出航帶內各模型點在航帶統一坐標系（第一個像片的像空間坐標系）中的坐標 \((X_{i}',Y_{i}',Z_{i}')\)。
步驟：
1.根據模型間的三個公共點求解個模型的縮放系數ki
\[k = \frac {N_{1A}Z_{2A}-b_{zA}}{N_{1B}Z_{1B}} \]
\[k_{平} = \frac {k_{1}k_{2}k_{3}}{3} \]
2.通過各模型縮放系數ki將模型內各模型點轉換到航帶統一坐標系。
-
通過縮放系數計算各模型攝站攝影測量坐標
\(S_{1} 點在攝影測量坐標系（A-X_{p}Y_{p}Z_{p})中坐標值為\)
\[\begin{cases} X_{ps_{1}}=0 \\ Y_{ps_{1}}=0 \\ Z_{ps_{1}}=mf(即航高) \end{cases} \]\[\begin{cases} X_{ps_{2}}= X_{ps_{1}} + mb_{X} \\ Y_{ps_{2}}= Y_{ps_{1}} + mb_{Y} \\ Z_{ps_{2}}= Z_{ps_{1}} + mb_{Z} \end{cases} \]\[\begin{cases} X_{ps_{i}}= X_{ps_{i-1}} + k_{i} \cdot mb_{X} \\ Y_{ps_{i}}= Y_{ps_{i-1}} + k_{i} \cdot mb_{Y} \\ Z_{ps_{i}}= Z_{ps_{i-1}} + k_{i} \cdot mb_{Z} \end{cases} \] -
計算最終的模型點坐標
第一個模型
\[\begin{cases} X_{pM}=m \cdot N_{1}X_{1} \\ Y_{pM}=\frac{m}{2}(N_{1}Y_{1} + N_{2}Y_{2} + b_{y}) \\ Z_{pM}=m \cdot N_{1}Z_{1} \end{cases} \]第一個模型后的模型
\[\begin{cases} X_{pi}=X_{ps_{j-1}}+ k_{j} \cdot m \cdot N_{1 \cdot j}X_{1 \cdot j} \\ Y_{pi}=\frac{1}{2}(Y_{ps_{j-1}}+ k_{j} \cdot m \cdot N_{1 \cdot j}Y_{1 \cdot j} + Y_{ps_{j}}+ k_{j} \cdot m \cdot N_{2 \cdot j}Y_{2 \cdot j}) \\ Z_{pi}=Z_{ps_{j}}+ k_{j} \cdot m \cdot N_{1 \cdot j}Z_{1 \cdot j} \end{cases} \]
三.模型的絕對定向
目標：
求出航帶內各模型點在大地坐標系中的坐標\((X_{ti},Y_{ti},Z_{ti})\)。
步驟：
1.根據兩個已知控制點確定大地坐標系與地面攝測坐標系之間的轉換參數\((a、b、\lambda)\)。
- 在航帶網兩端選擇1和2兩個控制點，該兩點需要同時具有地面測量坐標與攝測坐標，同時所有地面控制點、加密點的地面測量坐標與攝測坐標都要換算為以1點為坐標原點的坐標，即:
\[ \begin{cases} X_{t1i}=X_{ti}-X_{t1} \\ Y_{t1i}=Y_{ti}-Y_{t1} \\ Z_{t1i}=Z_{ti}-Z_{t1} \\ X_{P1i}=X_{ti}-X_{t1} \\ Y_{P1i}=Y_{ti}-Y_{t1} \\ Z_{P1i}=Z_{ti}-Z_{t1} \end{cases} \]
- 按平面坐標變換的計算公式得
\[\begin{bmatrix} X_{P1} \\ Y_{P1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \lambda sin \theta & \lambda cos \theta \\ \lambda cos \theta - \lambda sin \theta & \lambda sin \theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} X_{t1} \\ Y_{t1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b & a \\ a & -b \end{bmatrix} \begin{bmatrix} X_{t1} \\ Y_{t1} \end{bmatrix} \]\(\theta\) 為兩平面坐標系軸系之間的夾角; \(\lambda\)為縮放系數,都為未知數
- 由上式聯立求解得
\[\begin{cases} a = \frac{Y_{t1}X_{P1}+X_{t1}Y_{P1}}{X_{t1}^2+Y_{t1}^2} \\ b = \frac{X_{t1}X_{P1}-Y_{t1}Y_{P1}}{X_{t1}^2+Y_{t1}^2} \end{cases} \]\[\lambda = \sqrt{a^2+b^2} \]
2.將所有控制點的大地坐標\((X_{t},Y_{t},Z_{t})\)通過轉換參數（a、b）轉換為地面攝測坐標系\((X_{tp},Y_{tp},Z_{tp})\)。
\[\begin{bmatrix} X_{tP1} \\ Y_{tP1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b & a \\ a & -b \end{bmatrix} \begin{bmatrix} X_{t1} \\ Y_{t1} \end{bmatrix} \]
\[Z_{tP1i} = \lambda Z_{t1i} \]
3.根據已知控制點的地面攝測坐標\((X_{tp},Y_{tp},Z_{tp})\)求解絕對定向元素\((ΔX，ΔY，ΔZ，\varphi，\omega，\kappa , λ)\)。
初始值 \(\lambda\)=1 ,其余=0
- 利用重心公式求解重心坐標
\[X_{tpg}= \frac{\sum X_{tp}}{n}, Y_{tpg}= \frac{\sum Y_{tp}}{n}, Z_{tpg}= \frac{\sum Z_{tp}}{n} \]
- 重心化攝測坐標
\[\begin{cases} \bar{X_{pi}}= X_{pi} - X_{pg} \\ \bar{Y_{pi}}= Y_{pi} - Y_{pg} \\ \bar{Z_{pi}}= Z_{pi} - Z_{pg} \end{cases} \]
- 計算誤差方程式常數項\(l\)
\[\begin{bmatrix} l_{X} \\ l_{Y} \\ l_{Z} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \bar{X_{tp}} \\ \bar{Y_{tp}} \\\bar{Z_{tp}} \end{bmatrix} - \lambda _{0} R_{0} \begin{bmatrix} \bar{X_{p}} \\ \bar{Y_{p}} \\\bar{Z_{p}} \end{bmatrix} \]
- 計算誤差方程式系數矩陣 A
\[A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & \bar{X_{pi}} & -\bar{Z_{pi}} & 0 & -\bar{Y_{pi}} \\ 0 & 1 & 0 & \bar{Y_{pi}} & 0 & -\bar{Z_{pi}} & \bar{X_{pi}} \\ 0 & 0 & 1 & \bar{Z_{pi}} & \bar{X_{pi}} & \bar{Y_{pi}} & 0 \end{bmatrix} \]
- 組成法方程式系數矩陣\(A^TPA\) 和常數項矩陣 \(A^T P L\)
- 求解法方程 \(X=(A^TPA)^{-1}A^TPL\) , P 為權陣
- 計算新值
\[X= \begin{bmatrix} d \Delta X & d \Delta Y & d \Delta Z & d \Delta \lambda & d \Delta \varPhi & d \Delta \omega & d \Delta \kappa \end{bmatrix} \]
- 利用改正數計算結果，多次迭代,當改正數值小於某一限差\((1*10^{-6})\)后得到結果