Abstract
Bresenham直線繪制算法。
Reference :
作為計算機圖形學中最基礎的畫線段，我們從淺入深地進行探索。
版本1 --- 簡單的線性插值
void line(int x0, int y0, int x1, int y1, TGAImage &image, TGAColor color) {
for (float t=0.; t<1.; t+=.01) {
int x = x0 + (x1-x0)*t;
int y = y0 + (y1-y0)*t;
image.set(x, y, color);
}
}
這種算法非常簡單，分別在 \(xy\) 位移方向上進行平均采樣並畫點。采樣率越高（t的步長）直線越精確。
版本2 --- 另一種線性插值
你會發現版本1使用了用戶自定義的采樣率（ \(0\) 到 \(1\) ，步長為 \(0.1\) ），這樣有點低效。 若直接選擇 \(x\) 位移方向上的采樣作為線性插值的自變量是否比較自然呢？
void line(int x0, int y0, int x1, int y1, TGAImage &image, TGAColor color) {
for (int x=x0; x<=x1; x++) {
float t = (x-x0)/(float)(x1-x0);
int y = y0 + (y1 - y0)*t;
image.set(x, y, color);
}
}
但這仍然存在大問題：當執行以下調用時，第二條線全是孔隙，而第三條根本沒被繪制：
line(13, 20, 80, 40, image, white);
line(20, 13, 40, 80, image, red);
line(80, 40, 13, 20, image, red);
我們檢查一下第二條直線有很多孔隙的原因。觀察第二條 line 調用你會發現兩點在 \(y\) 方向上的位移是大於 \(x\) 方向的，這導致的結果是，若執意在位移較小的 \(x\) 方向上進行采樣，采樣率（能取到點的個數）會比較小。
至於第三條線根本沒繪制的原因，是因為第一個點的 \(x\) 值一開始就大於第二個點，所以導致根本不會進入繪制循環 :p
版本3 --- 加入邊界判斷
我們通過一些邊界判斷來修復可能會出現的錯誤。
void line(int x0, int y0, int x1, int y1, TGAImage &image, TGAColor color) {
bool steep = false;
if (std::abs(x0-x1)<std::abs(y0-y1)) {
std::swap(x0, y0);
std::swap(x1, y1);
steep = true;
}
if (x0>x1) {
std::swap(x0, x1);
std::swap(y0, y1);
}
for (int x=x0; x<=x1; x++) {
float t = (x-x0)/(float)(x1-x0);
int y = y0*(1.-t) + y1*t;
if (steep) {
image.set(y, x, color);
} else {
image.set(x, y, color);
}
}
}
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第一個判斷塊修復采樣率較低的問題。判斷最大位移方向是否為y方向，若是則分別交換始終點 \(xy\) 順序。假設出現了最大位移為y方向的情況，交換xy位置后，在之后的繪制循環中的采樣方向一定是y方向。
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第二個判斷塊修復了始終點順序問題。
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繪制循環中，steep為真代表直線較陡的情況，也即最大位移方向為 \(y\) 的情形。此時畫點時需要再次調換一下采樣點 \(xy\) 順序。
中點Bresenam算法
首先我們有了直線兩端點 \(A(x_{0}, y_{0})\) 和 \(B(x_{1}, y_{1})\),並設直線方程為
\(F(x, y) = y - kx - b\)，由兩端點容易得到斜率 \(k = \frac{y_{1} - y_{0}}{x_{1} - x_{0}}\)
先提前引入一個事實：將任意一個點帶入\(F(x, y)\)后，若\(F(x, y) > 0\)說明此點在直線上方；若\(F(x, y) < 0\)說明在直線下方；若等於0則表示點剛好落在直線上。
Bresenham的思想就是，每次在最大位移方向上前進一個單位，而在另一個方向上是否前進取決於判別式。至於為什么要選擇最大位移方向，會涉及到直線的反走樣，詳見我
對DDA算法解析的文章數值微分直線生成算法(DDA)。
\(0 \leq k \leq 1\)的情形
此時截距\(x_{1} - x_{0} > y_{1} - y_{0}\)，也即最大位移方向為X軸正向。因此在計算下一個點\(x_{i+1}\)時，在\(X\)方向行進1，需確定下個點的\(y\)值是否加1:
如圖，我們的下一個理想繪制點其實應該是直線與\(x = x_{i} + 1\)的交點\(Q\)，但是由於像素是離散的，僅有整數值，我們只能將這個交點近似地交由\(Q\)上面或下面的離散點來表
示。判斷方法很簡單，看交點\(Q\)在兩個備選點的中點\(M\)的上面還是下面，反過來判斷即為看中點\(M\)在\(Q\)的上面還是下面，若在\(Q\)的上面，則下一個點的\(y\)不變；若在\(Q\)下面，
則下一個點的\(y\)移動一個步長。
判別式：\(d_{i} = F(x_{M}, y_{M}) = F(x_{i} + 1, y_{i} + 0.5) = y_{i} + 0.5 - k(x_{i} + 1) - b\)
此時可將中點\(M(x_{i} + 1, y_{i} + 0.5)\)帶入\(F(x, y)\)，若結果\(d_{i} > 0\)，表示點\(M\)在\(Q\)之上，此時下一個繪制點確定為\((x_{i} + 1, y_{i})\)；反之確定為\((x_{i}+1, y_{i}+1)\)；若\(d_{i} = 0\)，表示
Q正好和M重合，那么我們默認下一個點取\(y\)不變的那個：
\(x_{i+1} = x_{i} + 1\)
\( \begin{equation}y_{i+1} = \begin{cases} y_{i} + 1 & (d_{i} < 0)\\ y_{i} & (d_{i} \geq 0) \end{cases} \end{equation} \)
判別式的推導
計算下一個繪制點時：
\(d_{i} < 0\)
取右上方點\(P_{u}(x_{i} + 1, y{i} + 1)\)。現在再判斷下下一個點如何計算，即：
\( \begin{equation} \begin{aligned} d_{i+1} &= F(x_{i} + 2, y_{i} + 1.5) \\ &= y_{i} + 1.5 - k(x_{i} + 1) - b - k \\ &= di + 1 - k \end{aligned} \end{equation} \)
也即當\(d_{i} < 0\)時，\(d_{i+1}\)對於\({d_{i}}\)的增量為\(1-k\)
\(d_{i} \geq 0\)
取正右方點\(P_{d}(x_{i} + 1, y{i})\)。現在再判斷下下一個點如何計算，即：
\( \begin{equation} \begin{aligned} d_{i+1} &= F(x_{i} + 2, y_{i} + 0.5) \\ &= y_{i} + 0.5 - k(x_{i} + 1) - b - k \\ &= di - k \end{aligned} \end{equation} \)
也即當\(d_{i} \geq 0\)時，\(d_{i+1}\)對於\({d_{i}}\)的增量為\(-k\)
代碼中當然需要得到\(d_{i}\)的初值。顯然直線的第一個像素\(p_{0}\)一定在直線上，因此可計算：
\( \begin{equation} \begin{aligned} d_{0} &= F(x_{0} + 1, y_{0} + 0.5) \\ &= y_{0} - kx_{0} - b - k + 0.5 \\ &= 0.5 - k \end{aligned} \end{equation} \)
注意這里的推導，由\(p_{0}\)在直線上的原因，\(y_{0} - kx_{0} - b = 0\)
看看我們推出了哪些需要的東西：
當\(d_{i} < 0\)時，\(d_{i+1}\)對於\(d_{i}\)的增量\((1)1-k\)，進一步寫作\(1-\frac{\Delta y}{\Delta x}\)
當\(d_{i} \geq 0\)時，\(d_{i+1}\)對於\(d_{i}\)的增量\((2)-k\)，進一步寫作\(-\frac{\Delta y}{\Delta x}\)
以及\(d_{0} = 0.5 - k\)，進一步寫作\(0.5 - \frac{\Delta y}{\Delta x}\)
我們只需判斷判別式的正負，且希望盡量用整數來進行運算以加快速度，所以對這三個變量同時乘以\(2\)再乘以\(\Delta x\)來消除浮點運算：
(1) \(2\Delta x-2\Delta y\) (2) \(-2\Delta y\) (3) \(\Delta x - 2\Delta y\)
加入最大位移方向修正后，現在可以用代碼來表示這個算法了（注意，若另一個方向上也即 \(dy\) 方向的起點坐標大於終點坐標，那么這個方向的步長改為-1即可）：
void Bresenham(int x0, int y0, int x1, int y1, TGAImage &image, TGAColor color) {
// 確保x為最大位移方向
bool steep = false;
if (std::abs(x0-x1)<std::abs(y0-y1)) {
std::swap(x0, y0);
std::swap(x1, y1);
steep = true;
}
// 確保計算方向為正向
if(x0 > x1) {
std::swap(x0, x1);
std::swap(y0, y1);
}
int dX = std::round(fabs(x1 - x0));
int dY = std::round(fabs(y1 - y0));
int delta = dX - 2 * dY;
int dStepUp = 2 * (dX - dY);
int dStepDown = -2 * dY;
int x = x0, y = y0;
for(int i = x; i <= x1; i++) {
!steep ? image.set(i, y, color)
: image.set(y, i, color);
if(delta < 0) {
y += (y0<y1?1:-1);
delta += dStepUp;
} else {
delta += dStepDown;
}
}
}
此代碼具有較好魯棒性，無論端點順序以及線段斜率如何，都能正確繪制。