2020藍橋杯c++ A組 國賽 皮亞諾曲線距離

2020藍橋杯c++ A組 皮亞諾曲線距離

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【問題描述】
皮亞諾曲線是一條平面內的曲線。
下圖給出了皮亞諾曲線的 1 階情形，它是從左下角出發，經過一個 3 × 3 的方格中的每一個格子，最終到達右上角的一條曲線。

下圖給出了皮亞諾曲線的 2 階情形，它是經過一個 32 × 32 的方格中的每一個格子的一條曲線。它是將 1 階曲線的每個方格由 1 階曲線替換而成。

下圖給出了皮亞諾曲線的 3 階情形，它是經過一個 33 × 33 的方格中的每一個格子的一條曲線。它是將 2 階曲線的每個方格由 1 階曲線替換而成。

皮亞諾曲線總是從左下角開始出發，最終到達右上角。

我們將這些格子放到坐標系中，對於 k 階皮亞諾曲線，左下角的坐標是(0, 0)，右上角坐標是 (3k − 1, 3k − 1)，右下角坐標是 (3k − 1, 0)，左上角坐標是(0, 3k − 1)。

給定 k 階皮亞諾曲線上的兩個點的坐標，請問這兩個點之間，如果沿着皮亞諾曲線走，距離是多少？

【輸入格式】
輸入的第一行包含一個正整數 k，皮亞諾曲線的階數。第二行包含兩個整數 x1, y1，表示第一個點的坐標。
第三行包含兩個整數 x2, y2，表示第二個點的坐標。

【輸出格式】
輸出一個整數，表示給定的兩個點之間的距離。

【樣例輸入】
1
0 0
2 2

【樣例輸出】
8

【樣例輸入】
2
0 2
0 3

【樣例輸出】
13

【評測用例規模與約定】
對於 30% 的評測用例，0 ≤ k ≤ 10。
對於 50% 的評測用例，0 ≤ k ≤ 20。
對於所有評測用例，\(0 ≤ k ≤ 100, 0 ≤ x_1, y_1, x_2, y_2 < 3^k, x_1, y_1, x_2, y_2 ≤ 10^{18}\)。
數據保證答案不超過 \(10^{18}\)。

思路

類似於 分形之城。

對於給定的兩個點，我們先求出它們到起點的距離。
差的絕對值就是這兩個點的距離和。

遞歸求解問題。

假如現在要求 \((7,4)\) 點到起點的距離。

根據坐標我們可以知道它位於上圖中的 \(8\) 部分。

答案轉化為了 \(1-7\) 部分中的點的數量+ \((1,1)\) 點在 8 部分中到起點的距離。\((1,1)\) 點是 \((7,4)\) 點在 \(8\) 部分中的坐標。

我們定義一個函數 \(cal(n,x,y) 表示在 n 階皮亞諾曲線中 (x,y) 到起點的距離\)。

那么我們求出 \((x,y)\) 在 \(id\) 部分之后，可以求出之前的距離：\((id-1) \times (n-1階曲線的點數)\)，並且得到其在 \(id\) 部分的坐標 \((x',y')\)，將 \(id\) 部分變換成 \(n-1\) 階皮亞諾曲線（旋轉或者翻轉），並將 \((x',y')\) 做相應的變換，得到 \((x'',y'')\)。

答案即為 \((id-1) \times (n-1階曲線的點數) + cal(n-1,x'',y'')\)

遞歸下去即可。

代碼

#include <bits/stdc++.h>
#define pb push_back
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
const int mod = 1e9 + 7;
const double eps = 1e-6;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const int N = 2e5 + 10;

ll fac[N];
ll cal(ll k, ll x, ll y)
{
    if (k == 0)
        return 0;
    ll len = fac[k], cnt = fac[k * 2];
    if (x < len / 3) {
        if (y < len / 3)
            return cal(k - 1, x, y);
        if (y < len * 2 / 3)
            return cnt / 9 + cal(k - 1, len / 3 - x - 1, y - len / 3);
        return cnt / 9 * 2 + cal(k - 1, x, y - 2 * len / 3);
    } else if (x < len * 2 / 3) {
        if (y < len / 3)
            return cnt / 9 * 5 + cal(k - 1, x - len / 3, len / 3 - y - 1);
        if (y < len * 2 / 3)
            return cnt / 9 * 4 + cal(k - 1, x - len / 3, y - len / 3);
        return cnt / 9 * 3 + cal(k - 1, x - len / 3, len - y - 1);
    } else {
        if (y < len / 3)
            return cnt / 9 * 6 + cal(k - 1, x - len * 2 / 3, y);
        if (y < len * 2 / 3)
            return cnt / 9 * 7 + cal(k - 1, len - 1 - x, y - len / 3);
        return cnt / 9 * 8 + cal(k - 1, x - len * 2 / 3, y - len * 2 / 3);
    }
}
int main()
{
    fac[0] = 1;
    for (int i = 1; i <= 100; i++) {
        fac[i] = fac[i - 1] * 3;
    }
    ll k, x1, y1, x2, y2;
    scanf("%lld%lld%lld%lld%lld", &k, &x1, &y1, &x2, &y2);
    ll a = cal(k, x1, y1);
    ll b = cal(k, x2, y2);
    printf("%lld\n", abs(a - b));
    return 0;
}